作业
一、常微分方程向量场相关概念
1、常微分方程向量场定义
答：
  设一阶微分方程 满足解的存在唯一性定理的条件。过中任一点  ，有且仅有一个解满足。称域为方程所定义的向量场。
2、常微分方程向量场性质
答：   
性质1：解就是通过点的一条曲线（称为积分曲线），且就是该曲线上的点处的切线斜率，特别在切线斜率就是。
性质2：向量场可以用映射来表示，其中，为一个平面区域，表示由平面一点映射到一个二维向量。
性质3：若函数为上的连续函数，那么向量场也是连续的。
性质4：向量场的原函数不唯一，但是任意两个原函数之间只差一个常数。
3、利用向量场求常微分方程（组）近似解
答：
matlab定义函数表达式  从几何上看，方程的一个解就是位于它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的每一点都与向量场在这一点的方向相切。形象的说，解就是始终沿着向量场中的方向行进的曲线，因此，求方程满足初始值的解，就是求通过点的这样的一条曲线。
4、利用向量场研究常微分方程定性理论
答：
  向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方程的几何性质极为重要，因为，可根据向量场的走向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的性质来研究解的性质。
(1).李雅普诺夫稳定性
考虑方程和，现用向量场判断方程的李雅普诺夫稳定性。分别绘制其向量场如下图：
从该图中的向量场方向可以看出，其所有解都渐进稳定于直线。
从该图中的向量场方向可以看出，当初值条件满足时，其解都渐进稳定于某竖直的直线；当初值条件满足时，其解都渐进稳定于直线。
(2).奇点
考虑方程和，现用向量场判断方程的奇点。分别绘制其向量场如下图：
从该图中的向量场方向可以明显观察出，点是这两个常微分方程的零点。
(3).极限环
考虑方程
现用向量场判断方程的极限环。绘制其向量场如下图：
从该图中的向量场方向可以看出，在圆内，有一部分初值点使得其解都渐进稳定于圆，而另一部分趋近于点；在圆外，有一部分初值点使得其解都渐进稳定于圆，而另一部分趋近于无穷远处。
二、基于绘制常微分方程向量场
1、基于绘制常微分方程向量场的思路。
解：向量场计算与与绘制步骤如下：
(1).给定常微分方程~以及区域；
(2).给定x轴分段数（如30），为保证所绘制的向量场中相邻的向量上下左右的距离相等，令；
(3).令x、y的取值分别为；
(4).求由微分方程右边~求在每个点处的斜率k；
(5).由斜率k求对应的方向向量，其中，；

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