matlab最小二乘法的非线性参数拟合
首先说一下匿名函数:在创建匿名函数时，Matlab记录了关于函数的信息，当使用句柄调用该函数的时候，Matlab不再进行搜索，而是立即执行该函数，极大提高了效率。所以首选匿名函数。具体拟合时可以使用的方法如下: 1 曲线拟合工具箱 提供了很多拟合函数，使用简单
非线性拟合nlinfit函数
clear all;
x1=[0.4292 0.4269 0.381 0.4015 0.4117 0.3017]'; x2=[0.00014 0.00059 0.0126 0.0061 0.00425 0.0443]';
x=[x1 x2];
y=[0.517 0.509 0.44 0.466 0.479 0.309]'; f=@(p,x)
2.350176*p(1)*(1-1/p(2))*(1-(1-x(:,1).^(1/p(2))).^p(2)).^2.*(x(:,1).^
(-1/p(2))-1).^(-p(2)).*x(:,1).^(-1/p(2)-0.5).*x(:,2);
p0=[8 0.5]';
opt=optimset('TolFun',1e-3,'TolX',1e-3);% [p R]=nlinfit(x,y,f,p0,opt)
2 最小二乘法在曲线拟合中比较普遍。拟合的模型主要有
1.直线型
2.多项式型
3.分数函数型
4.指数函数型
5.对数线性型
6.高斯函数型
一般对于LS问题，通常利用反斜杠运算“\”、fminsearch或优化工具箱提供的极小化函数求解。在Matlab中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操作。在命令提示符后键
入:cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型。
“\”命令
1.假设要拟合的多项式是:y=a+b*x+c*x^2.首先建立设计矩阵X:
X=[ones(size(x)) x x^2];
执行:
para=X\y matlab定义函数表达式
para中包含了三个参数:para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c; 这种方法对于系数是线性的模型也适应。
2.假设要拟合:y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2) 设计矩阵X为
X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)]; para=X\y
3.多重回归(乘积回归)
设要拟合:y=a+b*x+c*t，其中x和t是预测变量，y是响应变量。设计矩阵为 X=[ones(size(x)) x t] %注意x,t大小相等～
para=X\y
polyfit函数
polyfit函数不需要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit会根据输入的数据生成设计矩阵。
1.假设要拟合的多项式是:y=a+b*x+c*x^2
p=polyfit(x,y,2)
然后可以使用polyval在t处预测:
y_hat=polyval(p,t)
polyfit函数可以给出置信区间。
[p S]=polyfit(x,y,2) %S中包含了标准差
[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %按照拟合模型在t处预测 在每个t处的95%CI为:(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)
2.指数模型也适应
假设要拟合:y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2) p=polyfit(x,log(y),2)
fminsearch函数
fminsearch是优化工具箱的极小化函数。LS问题的基本思想就是残差的平方和(一种范数，由此，LS产生了许多应用)最小，因此可以利用fminsearch函数进行曲线拟合。
假设要拟合:y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2) 首先建立函数，可以通过m文件或函数句柄建立:
x=[......]';
y=[......]';
f=@(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.?2) %注意向量
化:p(1)=a;p(2)=b;p(3)=c;
%可以根据需要选择是否优化参数
%opt=options()
p0=ones(3,1);%初值
para=fminsearch(@(p) (y-f(p,x)).^2,p0) %可以输出Hessian矩阵 res=y-f(para,x)%拟合残差
3.多项式型的一个例子
1900-2000年的总人口情况的曲线拟合
clear all;close all;
%cftool提供了可视化的曲线拟合～
t=[1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]';
y=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505
249.633 281.4220]';
%t太大，以t的幂作为基函数会导致设计矩阵尺度太差，列变量几乎线性相依。变换为[-1 1]上
s=(t-1950)/50;
%plot(s,y,'ro');
%回归线:y=a+bx
mx=mean(s);my=mean(y);
sx=std(s);sy=std(y);
r=corr(s,y);
b=r*sy/sx;
a=my-b*mx;
rline=a+b.*s;
figure;
subplot(3,2,[1 2])
plot(s,y,'ro',s,rline,'k');% title('多项式拟合');
set(gca,'XTick',s,'XTickLabel',sprintf('%d|',t));
%hold on;
n=4;
PreYear=[2010 2015 2020];%预测年份
tPreYear=(PreYear-1950)/50;
Y=zeros(length(t),n);
res=zeros(size(Y));
delta=zeros(size(Y));

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