x=rn（n）傅⾥叶变换matlab，第三章离散傅⽴叶变换
第三章离散傅⽴叶变换(DFT)
3．1引⾔
有限长序列在数字信号处理是很重要的⼀种序列，当然可以⽤Z变换和傅⾥叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的⼀种有⽤⼯具是离散傅⾥叶变换(DFT)。离散傅⾥叶变换除了作为有限长序列的⼀种傅⾥叶表⽰法在理论上相当重要之外，⽽且由于存在着计算离散傅⾥叶变换的有效快速算法，因⽽离散傅⾥叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核⼼的作⽤。
有限长序列的离散傅⾥叶变换(DFT)和周期序列的离散傅⾥叶级数(DFS)本质上是⼀样的。为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅⾥叶级数DFS。⽽为了讨论离散傅⾥叶级数及离散傅⾥叶变换，我们⾸先来回顾并讨论傅⾥叶变换的⼏种可能形式。
(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若⼲不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。)
⼀、连续时间、连续频率——连续傅⽴叶变换(FT)
设x(t)为连续时间⾮周期信号，傅⾥叶变换关系如下图所⽰：
可以看出时域连续函数造成频域是⾮周期的谱，⽽时域的⾮周期造成频域是连续的谱。
⼆、连续时间，离散频率------傅⾥叶级数
设f(t)代表⼀个周期为T1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅⾥叶级数，其傅⾥叶级数的系数为，f(t)和
组成变换对，表⽰为:
()
注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期⽤T表⽰(采样间隔)。采样脉冲信号的频率为
可以看出时域连续函数造成频域是⾮周期的谱，⽽时域的周期造成频域是离散的谱
三、离散时间，连续频率------序列的傅⾥叶变换
正变换：DTFT[x(n)]=
反变换：DTFT-1
级数收敛条件为||=
可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，⽽时域的⾮周期造成频域是连续的谱
四、离散时间，离散频率------离散傅⾥叶变换
上⾯讨论的三种傅⾥叶变换对，都不适⽤在计算机上运算，因为⾄少在⼀个域(时域或频域)中，函数是
连续的。因为从数字计算⾓度，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况，这就是我们这⾥要谈到的离散傅⾥叶变换。
时域抽样间隔T，频域周期Ws=2p/T，
时域周期T1，频域抽样间隔W1=2p/T1
周期序列的离散傅⾥叶级数(DFS)
设是周期为N的⼀个周期序列，即，r为任意整数。和连续时间周期信号⼀样，周期序列可⽤离散傅
⾥叶级数来表⽰。
离散傅⾥叶级数(DFS)对：
正变换=DFS[] =  =
反变换=IDFS[]==
式中，，和均为整数。
观察=。是⼀个周期序列吗？如是，周期为多少？
=。
所以。是⼀个周期序列，周期为N。
，周期为N
，周期也为N。
观察=，与连续时间信号与系统中的傅⾥叶级数对应，表明将周期序列分解成N个独⽴谐波分量。
第0次谐波序列，基波序列，…，第k次谐波序列，第N-1次谐波序列。谐波频率，k=0，1，2，…，N-
1，幅度为。例如：基波分量的频率为2p/N，幅度是。⼀个周期序列可以⽤其DFS表⽰它的频谱分布规律。
例题：如图所⽰，求的DFS
解：=DFS[] =  =
====
==，
||如下图所⽰。
离散傅⽴叶变换(DFT)
周期序列实际上只有有限个序列值才有意义，因⽽它的离散傅⾥叶级数表⽰式也适⽤于有限长序列，这就可以得到有限长序列的傅⾥叶变换(DFT)。
设x(n)是⼀个长度为M的有限长序列，
正变换=DFT[] =  =
k=0，1，2，…，N-1(3.1.1)
反变换=IDFT[]==
n=0，1，2，…，N-1(3.1.2)
式中，N称为DFT变换区间长度，N≥M。
例3．1．1：=R4(n)，求的8点和16点DFT。
解：(1)DFT变换区间N=8，则：
====
=，k=0，1，…，7
(2)DFT变换区间N=16，则：
==
=，k=0，1，…，15
DFS与DFT的关系
1、有限长序列和周期序列的关系
设x(n)是⼀个长度为M的有限长序列，以N(N≥M)为周期进⾏周期延拓得。是x(n)的周期延拓。如
下图所⽰：
M=4，N=8，以N=8进⾏周期延拓。的周期为8。
⽤式⼦表⽰：
＝
或＝x(n模N)＝x((n))N，(n模N)表⽰n对N取余数
例：设是以N=8周期对有限长序列x(n)(长度M=4)进⾏周期延拓得到的。＝x(3)，
=x(2)。
有限长序列进⾏周期延拓得到周期序列。
定义：周期序列中从n=0到N-1的第⼀个周期为的主值区间，⽽主值区间上的序列称为
的主值序列
周期序列的主值序列是有限长序列
利⽤前⾯的矩形序列符号RN(n)
RN(n)=  1，0≤n≤N-1
0，其他n
x(n)= RN(n)
x(n)的周期延拓序列是；＝x((n))N
的主值序列是x(n)；x(n)= RN(n)
同理把频域周期序列也看作是有限长序列X(k)的周期延拓。X(k)是的主值序列
X(k)的周期延拓序列是；＝X((k))N
的主值序列是X(k)；X(k)=  RN(n)
具体⽽⾔，我们把时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓；同理把频域周期序列也看作是有限长序列X(k)的周期延拓。这样我们只要把DFS的定义式两边取主值区间，就得到了⼀个关于有限长序列的时频域对应的变换对。这就是
数字信号处理课程⾥最重要的变换-------离散傅⾥叶变换(DFT)。
离散傅⽴叶级数(DFS)对：
正变换=DFS[] =  =
反变换=IDFS[]==
式中，，和均为整数。
离散傅⾥叶变换(DFT)
正变换：＝DFT[x(n)]= ，0≤k≤N-1
反变换：x(n)=IDFT[]=，0≤n≤N-1
或：＝ RN(k)＝ RN(k)
x(n)=  RN(n) =
RN(n)
DFT隐含有周期性。
DFT和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：
＝DFT[x(n)]= ，0≤k≤N-1
⽐较上⾯两式可以得到：
＝|，0≤k≤N-1(3.1.3)
matlab求傅里叶变换或
=|，0≤k≤N-1(3.1.4)
(3.1.3)表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。(3.1.4)表明是x(n)的傅⽴叶变换
在区间[0，2π]上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表⽰对
在[0，2π]区间上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。例3．1．1中，=
R4(n)，DFT变换区间长度N分别取8点和16点，结果不同。下图为R4(n)的傅⽴叶变换和R4(n)的
8点、16点的对应图。
3．2离散傅⽴叶变换的性质
⼀、线性
设x1(n)、x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1，N2，且y(n)=a x1(n)+b x2(n)，a，b为常数。N=max[N1，N2]。
x1(n)有限长序列，长度为N；
x2(n)有限长序列，长度为N；
y(n)有限长序列，长度为N；
x1(n)的N点DFT为：X1(k)=DFT[x1(n)]=
0≤k≤N-1
x2(n)的N点DFT为：X2(k)=DFT[x2(n)]=
0≤k≤N-1
y(n)的N点DFT为：Y(k)=DFT[y(n)] =
==aX1(k)+b
X2(k)
0≤k≤N-1
⼆、循环移位定理
1、序列的循环移位
设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为
(3.2.2)
(3.2.2)表明先将x(n)以N为周期进⾏周期延拓得到序列= x((n))N，再将左移得到
，
最后取主值区间(n=0到N-1)上的序列值，则得到有限长序列x(n)的循环移位序列
。
过程如下图所⽰：
2、时域循环移位定理
设x(n)为有限长序列，长度为N，为x(n)的循环移位序列，即，则
DFT[]=
其中=DFT[x(n)]，0≤k≤N-1
证明：
=
令n+m=n’，则有
=
=
由于上式中求和项以N为周期，所以对其在任⼀周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区间，则得：
=
=
=，0≤k≤N-1
3、频域循环移位定理
如果=DFT[x(n)]，0≤k≤N-1
=
则：y(n)=IDFT[]=x(n)
证明：y(n) =IDFT[]=
=
令=，则有：

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