第6章
周期信号的傅里叶级数及频谱分析
6.1 实验目的
● 学会运用MATLAB分析傅里叶级数展开，深入理解傅里叶级数的物理含义
● 学会运用MATLAB分析周期信号的频谱特性
6.2 实验原理及实例分析
6.2.1 周期信号的傅里叶级数
设周期信号,其周期为T，角频率为,则该信号可展开围三角形式的傅里叶级数，即
        （6-1）
其中，各正弦项与余弦项的系数、成为傅里叶系数，更具函数的正交性，得
                          （6-2）
其中，n=1,2……。积分区间通常取为（0，T）或（，），将上式同频率项合并，可以改写为
              （6-3）
由此，可以得出傅里叶级数中各系数间的关系为：
                （6-4）
从物理概念上来说，式6-3中的即是信号的直流分量；式中第二项成为信号的基波或基波分量，它的角频率与元周期信号相同；式中第三项成为信号的二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，以此类推。一般而言，成为信号的n次谐波，n比较法的那些分量统称为高次谐波。
我们还成用到负指数形式的傅里叶级数，设周期信号，其周期为T，角频率为，该信号负指数形式的傅里叶级数为
其中， n=0, ……
成为复指数形式傅里叶级数系数。利用MATLAB可直观地观察和分析周期洗脑傅里叶级数及其收敛性。
【实例6-1】周期方波信号如图6-1所示，试求出该信号的傅里叶基数，利用MATLAB编程实现各次谐波的叠加，并验证其收敛性。
解：从理论分析可知，已知周期方波信号的傅里叶级数展开式为
+)
取A=1，T=1,可分别求出1、3、5、11、47项傅里叶级数求和的结果，其MATLAB源程序为
>> t=-1:0.001:1;
>> omega=2*pi;
>> y=square(2*pi*t,50);
>> plot(t,y),grid on
>> xlabel('t'),ylabel('周期方波信号')
>> axis([-1 1 -1.5 1.5])
>> n_max=[1 3 5 11 47];
>> N=length(n_max);
>> for k=1:N
n=1:2:n_max(k);
b=4./(pi*n);
x=b*sin(omega*n'*t);
figure;
plot(t,y);
hold on;
plot(t,x);
hold off;
matlab求傅里叶变换
xlabel('t'),ylabel('部分和的波形')
axis([-1 1 -1.5 1.5]),grid on
title(['最大谐波数=',num2str(n_max(k))])
end
程序运行后，画出各项部分和的波形如图6-2所示：
图6-2 周期方波信号的有限项傅里叶级数逼近
从图可以看出，随着傅里叶级数项数的增多，部分和与周期方波型号的误差越来与小。在N=47项的时候，部分和的波箱与周期方波信号的波形很接近，但在信号的跳变点附近，却总是存在一个过冲，这就是所谓的Gibbs现象。
6.2.2周期信号的频谱分析
周期信号通过傅里叶级数分解可展开成一系列互相正交的正弦信号或复指数信号分量的加权和。在三角形式傅里叶级数中，各分量的形式为;在指数形式的傅里叶级数中，各量的形式为。对实信号而言，与承兑出现。对不同的周期信号，它们各个分量的数目、角频率、幅度或相位不同。傅里叶系数的幅度或随角频率变化关系绘制成图形，成为信号的幅度频谱，简称幅度谱。相位随角频率变化关系绘制成图形，称为信号的相位频谱，简称相位谱。幅度谱和相位朋友统称为信号的频谱。信号的频谱是信号的另一种表示，它提供了从另一个角度来观察和分析信号的途径。利用MATLAB命令可对周期信号的频谱及其特点进行观察验证分析。
6.3 编程练习
2.试用MATLAB分析图6-5中周期三角信号的频谱。当周期三角信号的周期好三角信号的宽度变化时，试观察分析其频谱的变化。
解：根据傅里叶级数理论可知，周期三角信号的傅里叶系数为
各谱线之间的间隔为图6-6画出了，和三种情况下傅里叶系数。为了能在同一时间段对比，第2种情况由于周期T不一样，所以谱线之间的间隔也不一样，因此，对横坐标做了调整，使它与第1、3种情况一致。
MATLAB源程序为
>> n=-30:30;tao=1;T=10;w1=2*pi/T;
>> x=n*tao/T;fn=tao*sinc(x);
>> subplot(311)
>> stem(n*w1,fn),grid on
>> title('tao=1,T=10')
>> tao=1;T=5;w2=2*pi/T;
>> x=n*tao/T;fn=tao*(sinc(x)).^2;
>> m=round(30*w1/w2);
>> n1=-m:m;
>> fn=fn(30-m+1:30+m+1);
>> subplot(312)
>> stem(n1*w2,fn),grid on
>> title('tao=1,T=5')
>> tao=2;T=10;w3=2*pi/T;
>> x=n*tao/T;fn=tao*(sinc(x)).^2;
>> subplot(313)
>> stem(n*w3,fn),grid on
>>title('tao=2,T=10')
图6-6  周期三角信号的傅里叶系数
从图6-6可以看出，脉冲宽度越大，信号的频谱带宽越小；而周期越小，谱线之间间隔越大，验证了傅里叶级数理论。
第7章
傅里叶变换及其性质
7.1 实验目的
● 学会运用MATLAB求连续时间信号的傅里变换；
● 学会运用MATLAB求连续时间信号的频谱图；
● 学会运用MATLAB分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。
7.2 实验原理及实例分析
7.2.1傅里叶变换的实现
  在前面讨论的周期信号中，当周期时，周期信号就转化为非周期信号。当周期时，周期信号的各次谐波幅度及谱线间隔将趋近于无穷小，但频谱的相对性状保持不变。这样，原来由许多谱线组成的周期信号的离散频谱就会连成一片，形成非周期信号的连续频谱。为了有效地分析非周期信号的频率特性，我们引入了傅里叶变换分析法。
信号 的傅里叶变换定义为
博里叶反变换定义为
傅里叶正反变换称为傅里叶变换对，简记为f(t) F(w)。
信号的傅里叶变换主要包括MATLAB符号运算和MATLAB数值分析两种方法,下面分别加以探讨，同时，探讨了连续时间信号的频谱图。
1.MATLAB符号运算求解法
MATLAB符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier()及ifourier()。Fourier变换的语句格式分为三种。
（1）F=fourier（f）:它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于的函数。
（2）F=fourier（f,v）:它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的，及.
(3) F=fourier（f,u,v）:是对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数，即。
值得注意的是，函数fouier()及ifouier（）都是接受由sym函数所定义的符号变量或者符号表达式。
2.连续时间信号的频谱图
信号的傅里叶变换表达了信号在处的频谱密度分布的情况，这就是信号的傅里叶变换的物理含义。一般是复函数，可以表示为。我们把曲线分别成为非周期信号的幅度频谱和相位频谱，它们都是频率的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。非周期信号的频谱有两个特点，密度谱和连续谱。我们注意到，采用fourier()和ifourier()得到的返回函数，仍然是符号表达式。若需对返回函数作图，则需应用ezplot()绘图命令。
【实例7-4】用MATLAB命令求图7-2所示三角脉冲的傅里叶变换，并画出其幅度谱。
解：该三角脉冲是实偶函数，因此傅里叶变换也为实偶变换，相位谱为0。图中所示三角脉冲信号的数学表达式为
MATLAB源程序为
>>ft=sym('(t+4)/2*heaviside(t+4)-t*heaviside(t)+(t-4)/2*heaviside(t-4)');
>> Fw=simplify(fourier(ft))
Fw =
(2*sin(2*w)^2)/w^2
>> Fw_conj=conj(Fw);
>> Gw=sqrt(Fw*Fw_conj);
>> ezplot(Gw,[-pi pi]),grid on
上述程序首先用sym函数定义三角脉冲信号，然后进行傅里叶变换得到。通过函数Fw_conj= conj(Fw)可求得傅里叶变换的共轭函数，Gw=sqrt(Fw*Fw_conj)是将共轭函数与函数本身相乘得到模平方函数，再将模平方函数进行开方从而得到幅度值。
在求幅度谱时，Fw_conj= conj(Fw)和Gw=sqrt(Fw*Fw_conj)也可利用MATLAB中abs函数方便地得到同样的结果。因此，MATLAB程序为
>>ft=sym('(t+4)/2*heaviside(t+4)-t*heaviside(t)+(t-4)/2*heaviside(t-4)');
>> Fw=simplify(fourier(ft))；
>> ezplot(abs(Fw),[-pi pi]),grid on
三角脉冲信号的频谱图如退7-3所示
图7-3 三角脉冲信号的幅度频谱
【实例7-5】已知调制信号，用MATLAB命令求其频谱。
解：取，A=4，，。MATLAB源程序为
>> ft=sym('4*cos(2*pi*6*t)*(heaviside(t+1/4)-heaviside(t-1/4))');
>> Fw=simplify(fourier(ft))
Fw =
(8*w*sin(w/4))/(- w^2 + 144*pi^2)
>>subplot(121)
>> ezplot(ft,[-0.5 0.5]),grid on
>> subplot(122)
>> ezplot(abs(Fw),[-24*pi 24*pi]),grid on
图7-4  调制信号及其频谱

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。