傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用
王家硕  学号：1252015
一、 Fourier变换
1. 一维连续傅里叶变换
设 f (x)为x的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件：
（1）具有有限个间隔点。
（2）具有有限个极点。
（3）绝对可积。
则 f (x)的傅里叶变换（Fourier Transformation，FT）定义为:
Fourier正变换：；
  Fourier逆变换：，
式中：，ω 为频域变量。
f (x)与F(w)构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x)为实函数，则它的傅里叶变换F(w)通常是复函数，于是F(w)可写成
F(w) =R(w) +jI (w)                    (1)
式中：R(w)和I (w)分别是F(w)的实部和虚部。公式1可表示为指数形式：
matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱
式中：
F(w) 为f (x)的傅里叶幅度谱，f(w)为f (x)的相位谱。
2. 二维连续傅里叶变换
如果二维函数f (x, y)是连续可积的，即，且F(u, v)是可积的，则二维连续傅里叶变换对可表示为：
对于图像 f (x, y)，F(u, v)是它的频谱。变量u 是对应于x 轴的空间频率，变量v 是对应于y轴的空间频率，与在一维的情况类似，可定义二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱为：
3. 一维离散傅里叶变换
对一个连续函数f (x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采样N个，则这个离散序列
可表示为{ f (0), f (1), f (2), , f (N -1)}。则其离散傅里叶变换F(u)为：
离散傅里叶反变换（IDFT）为：
式中：x =0, 1, 2, , N -1。
令，则上述公式变成：
4. 二维离散傅里叶变换
二维离散傅里叶变换：
二、 傅里叶变换在图像处理中的应用
傅立叶变换在图像处理中有非常重要的作用，被广泛应用于图像增强与图像去噪、图像分割之边缘检测、图像特征提取（形状、纹理）、图像压缩等方面。
1. 基于傅里叶变换的图像增强
在图像处理中，图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪声，更多是两者的混合；低频分量：图像变化平缓的部分，也就是图像轮廓信息。高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过。低通滤波器：与高通相反，让图像使高频分量抑制，低频分量通过。
图像频域滤波增强技术是在频率域空间对图像进行滤波，因此需要将图像从空间域通过傅里叶变换频率域，具体操作如下：
假定原图像f(x,y)，经傅里叶变换为F(u,v)，频率域增强就是选择合适的滤波器函数H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行调整，然后经逆傅里叶变换得到增强的图像g(x,y)。该过程可以通过下面的流程描述：
（１）对原始图像f(x,y)进行傅里叶变换得到F(u,v)；
（２）将F(u,v)与传递函数H(u,v)进行卷积运算得到g(u,v)；
（３）将g(u,v)进行傅里叶逆变换得到增强图像g(x,y)。
频域滤波的核心在于如何确定传递函数，即H(u,v)。常用的频率域低通滤波器H(u,v)有4种。理想低通滤波器、巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器、指数低通滤波器、梯形低通滤波器。
2. 图像增强MatLab实现
clear all;
I1=imread('cameraman.tif');  %转载图像
fftI1=fft2(I1);                        %二维离散傅立叶变换
sfftI1=fftshift(fftI1);              %直流分量移到频谱中心
RR1=real(sfftI1);                    %取傅立叶变换的实部
II1=imag(sfftI1);                    %取傅立叶变换的虚部
A1=sqrt(RR1.^2+II1.^2);             %计算频谱幅值
A1=(A1-min(min(A1)))/(max(max(A1))-min(min(A1)))*225;%归一化
subplot(3,2,2);imshow(A1);            %显示原图像的频谱
figure,imshow(I1,[]);                %把图像显示出来
% I1=imnoise(I1,'salt & pepper');
% figure,imshow(I1);
snoise=0.1*randn(size(I1)); 
 I1=imadd(I1,im2uint8(snoise)); % 受随机噪声干扰
figure,imshow(I1);            %显示噪声图像
f=double(I1);                %图像存储类型转换
g=fft2(f);                    %傅立叶变换
g=fftshift(g);                %转换数据矩阵
[N1,N2]=size(g);              %测量图像尺寸参数
n=2;
d0=50;
n1=fix(N1/2);
n2=fix(N2/2);
for i=1:N1
    for j=1:N2
        d=sqrt((i-n1)^+(j-n2)^2)
        h=1/(1+0.414*(d/d0)^(2*n));    %计算Butterworth低通转换函数
        result(i,j)=h*g(i,j);
    end
end
result=ifftshift(result);
X2=ifft2(result);
X3=uint8(real(X2));
figure,imshow(X3)        %    显示频域增强后的图像
3. 运行结果
         
        原始图像                                原始图像频谱
           
加入噪声图像                                        增强图像

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