实验五 周期信号的傅里叶级数及频谱分析
5.1实验目的
１．学会运用MATLAB分析傅里叶级数展开，深入理解傅里叶级数的物理意义；
2．学会运用MATLAB分析周期信号的频谱特性。
5.２实验原理及实例分析
任何一个周期为T1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。
其中三角傅里叶级数matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱为：
5.1
或： 5.2
其中，称为信号的基本频率（Fundamental frequency），分别是信号的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率的函数，绘制出它们与之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），－图像为幅度谱，－图像为相位谱。
三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude）为。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。
指数形式的傅里叶级数为：
52.3
其中，为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：
5.4
指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related）的周期复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度（complex amplitude）为。这里“复幅度（complex amplitude）”指的是通常是复数。
上面的傅里叶级数的合成式说明，我们可以用无穷多个不同频率的周期复指数信号来合成任意一个周期信号。然而，用计算机（或任何其它设备）合成一个周期信号，显然不可能做到用无限多个谐波来合成，只能取这些有限个谐波分量来近似合成。
假设谐波项数为N，则上面的和成式为：
5.5
显然，N越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。本实验可以比较直观地了解傅里叶级数的物理意义，并观察到级数中各频率分量对波形的影响包括“Gibbs”
现象：即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。这一现象在观察周期矩形波信号和周期锯齿波信号时可以看得很清楚。
例题5-1：给定一个周期为T1 = 2s的连续时间周期方波信号，如图所示，其一个周期内的数学表达式为：
>> k = -10:10;
ak = ((-j).^k).* (sin((k+eps)*pi/2)./((k+eps)*pi))
ak =
Columns 1 through 4
-0.0000 0 + 0.0354i -0.0000 0 + 0.0455i
Columns 5 through 8
-0.0000 0 + 0.0637i -0.0000 0 + 0.1061i
Columns 9 through 12
-0.0000 0 + 0.3183i 0.5000 0 - 0.3183i
Columns 13 through 16
-0.0000 0 - 0.1061i -0.0000 0 - 0.0637i
Columns 17 through 20
-0.0000 0 - 0.0455i -0.0000 0 - 0.0354i
Column 21
-0.0000
>>stem(k,abs(ak),'k.')
title('The Fourier series coefficients')
xlabel('Frequency index k')
5.3 编程练习
1. 周期三角脉冲信号如图4-1所示，求出其傅里叶级数，并用MATLAB频谱图，分析信号的频率特性。
>> k=-10:10;
ak=(1-cos(k*pi)) ./ (k*pi).^2
stem(k,abs(ak),'k.')
title('The Fourier series coefficients')
xlabel('Frequency index k')
ak =
Columns 1 through 7
0 0.0025 0 0.0041 0 0.0081 0
Columns 8 through 14
0.0225 0 0.2026 NaN 0.2026 0 0.0225
Columns 15 through 21
0 0.0081 0 0.0041 0 0.0025 0
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