信号的频谱
摘要
本文说明了信号的频谱的由来，确知信号、随机信号的频谱的相关概念等信息的介绍，及其相关的傅里叶变换的知识，对频域分析的方法也进行了说明，便于进行对比理解。
关键词：傅里叶变换 频谱 确知信号 随机信号 频域分析
一 信号频谱的由来
在LTI系统中，信号表示成基本信号的线性组合，这些基本信号应该具有以下两个性质：
1，由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；
2，LTI系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统对任意输入信号的响应由一个很方便的表示式。
在LTI系统中，复指数信号的重要性在于：一个LTI系统对复指数信号的响应也是一个复指数信号，不同的是幅度上的变化，即：
连续时间：
离散时间：
这里或是一个复振幅因子， 一般来说是复变量s或z的函数。
对于连续时间和离散时间来说，如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；并且输出表达式中的每一个系数可以用输入中相应的系数分别与有关的系统特征值或相乘求得。
频域分析法将信号和系统模型的时间变量函数（或序列）变换为频域的某个变量函数，并研究他们的特性，由于时域中的微分（或差分）方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，这就简化了运算。同时，频域分析将时间变量变换成频率变量,揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系,从而导出了信号的频谱,带宽以及滤波,调制和频分复用等重要概念。
信号的频谱，从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，所画出的图形称为信号的频谱图。
傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的,这方面的问题也称为傅里叶分析(频域分析).将信号进行正交分解(分解为三角函数或复数函数的组合)。
二 确知信号的频谱
确知信号：取值在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值，例如：振幅，频率和相位都是确定的一段正弦波，都是一个确知信号。具体来说，确知信号的频谱可以分为周期信号的频谱和非周期信号的频谱。
2.1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS
(1) 狄义赫利条件：在同一个周期内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积。
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集或复指数函数集，函数周期为T1，角频率为。
(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
(4) 三角形式的FS：
(i) 展开式：
(ii) 系数计算公式：
(a) 直流分量：
(b) n次谐波余弦分量：
(c) n次谐波的正弦分量：
(iii) 系数和统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。
(iv) 称为信号的基波、基频；为信号的n次谐波。
(v) 合并同频率的正余弦项得：
(a)
matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱(b)
和分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系：
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(5) 复指数形式的FS：
(i) 展开式：
(ii) 系数计算：
(iii) 系数之间的关系：
(iv) 关于n是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
(v) 正负n (n非零)处的的幅度和等于或的幅度。
(6) 奇偶信号的FS：
(i) 偶信号的FS：
；；
(实，偶对称)；；
(ii) 偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。
(iii)奇信号的FS：
；；；
(纯虚，奇对称)； ；
(iv) 奇的周期信号的FS系数只有正弦项。
(7) 周期信号的傅里叶频谱：
(i) 称为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。
(ii)称为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。
(iii)称为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。
(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率(或频率)上有值。
(v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为。
(vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位
(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。
(viii)称为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。
(ix)称为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。
(8) 周期矩形脉冲序列的FS谱的特点：
(i) 谱线包络线为Sa函数；
(ii) 谱线包络线过零点：(其中为谱线间隔)：
，或，
即当时，。
(iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。
(iv) 带宽或只与矩形脉冲的脉宽有关，而与脉高和周期均无关。(定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)
(9) 周期信号的功率：
(10) 帕斯瓦尔方程：
2.2 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)
(1) 信号f (t)的傅里叶变换：
是信号的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。
(2) 频谱密度函数的逆傅里叶变换为：
(3) 称为FT的变换核函数，为IFT的变换核函数。
(4) FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。
(5) FT具有可逆性。如果，则必有；反之亦然。
(6) 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成
(i) 称为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性；
(ii) 称为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。
(7) FT频谱可分解为实部和虚部：
(8) FT存在的充分条件：时域信号绝对可积，即。
注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。
(9) FT及IFT在赫兹域的定义：
；
(10) 比较FS和FT：
FS | FT | |
分析对象 | 周期信号 | 非周期信号 |
频率定义域 | 离散频率，谐波频率处 | 连续频率，整个频率轴 |
函数值意义 | 频率分量的数值 | 频率分量的密度值 |
2.3 功率密度谱
一个确定性的能量信号可以通过能量密度谱E(ω)来描述信号能量在频域的分布特性。同理,
对一个确定性功率信号可以利用功率密度谱来描述信号功率在频率域分布情况,功率密度谱反映了单位频带信号功率的大小,是频率的函数以p(ω)表示。
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