离散傅里叶变换----解释的最透彻的包括定义物理意义
1. 傅里叶变换的集中形式及应用
傅立叶变换是以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的一种变换关系。
由于自变量时间和频率可以是连续的，也可以是离散的，因此可以组成几种不同的变换对。
（1）非周期的连续时间，连续频率-----傅里叶变换
正变换
X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt
反变换
x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(jΩ)*exp^jΩt dt
练习一：
时域函数：连续时间矩形脉冲
频域：连续频率的非周期函数
（2）周期的连续时间，离散频率----傅里叶级数
周期为T0的 时间信号x(t) 的傅里叶级数展开的系数为X(jkΩ0),构成的傅里叶变换对如下：
正变换
X(jkΩ)= {-T0/2,+T0/2}x(t)*exp^-jkΩ0t dt
反变换
X(t)= ∑k={-∞,+∞} X(jkΩ0)*exp^jkΩ0t
式中X(jkΩ0)是以角频率Ω0为间隔的离散函数形成频域的离散频谱，Ω0与时间信号的周期之间的关系为Ω0=2ΠF=2π/T0.傅里叶级数展开将连续时间周期函数分解为无穷多个角频率为Ω0整数倍的谐波，k为各次谐波序号。
练习二
matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱
时域：连续时间周期矩形脉冲
频域：非周期的频域
结论：时域的周期性对应于频域的离散性
（3）非周期的离散时间、连续频率---序列的傅里叶变换
非周期离散时间信号的傅里叶变换就是序列的傅里叶变换
正变换
X(e^jω)= ∑n={-∞,+∞}x(n) e^-jωn
反变换
x(n)=1/2π{-π,+π}X(e^jω) e^jωn  dω      式中，ω是数字频率
如果序列x(n)是模拟信号x(t)经过抽样得到，抽样时间间隔为Ts,抽样频率为fs=1/TS,抽样角频率为Ωs=2π/Ts，由于数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为ω=ΩTs，因此抽样数字频
率ωs=ΩsTs=2π，则上面的变换对也可写成
正变换
X(e^jΩT)= ∑n={-∞,+∞}x(nT) e^jnΩT
反变换
x(nT)=1/Ωs{-Ωs/2,+ Ωs/2}X(e^jΩT) e^jnΩT  dΩ
练习三
时域：对连续时间矩形脉冲按照Ts为周期进行采样
频域：以Ωs为周期严拓
结论：时域的离散造成频域的周期严拓，时域的非周期性对应于频域的连续性
（4）离散时间，离散频率----离散傅里叶变换
由于数字信号处理是希望在计算机上实现各种运算和变换，其所涉及的变量和运算都是离散的，而前面三种傅里叶变换对中，时域或频域中至少有一个域是连续的，所以都不可以在计算机上进行运算和实现，因此对于数字信号处理，应该到在时域和频域都是离散的傅里叶变换，即离散傅里叶变换。
前面的讨论已经得出结论：时域的周期性导致频域的离散性，时域的连续函数在频域形成非周期频谱；而时域的离散性造成频域的周期延拓，时域的非周期性对应于频域的连续函数形式。那么对于时域和频域都是离散的离散傅里叶变换，应该形成时域和频域都具有周期性的函数。
如果序列x(n)是模拟信号x(t)经过抽样得到，抽样时间间隔为Ts,则频率函数的周期为Ωs=2π/ Ts,如果频率函数也是离散的，其采样间隔为Ω0，则时间函数的周期为T0=2π/Ω0，当时间函数序列一个周期内的抽样点数为N时，有
N=T0/TS=Ωs/Ω0
表明在频域中频谱函数的一个周期内的抽样点数也为N，即离散傅里叶变换的时间序列和频率序列的周期都是N，可以得到表示于一个周期内的常用的离散傅里叶变换对如下：
正变换
X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2π/Nnk
反变换
x(n)=1/N∑n={0,N-1}X(k) e^j2π/Nnk
时域：对周期矩形脉冲信号以TS为周期进行抽样，得到离散时间序列
频域：是傅里叶级数以周期ΩS的延拓
（5）傅里叶变换形式的归纳
时域
频域
连续性和非周期性
非周期性和连续性
连续性和周期性T0
非周期性和离散型（Ω0=2π/ T0）
离散型和非周期性
周期性ΩS=2π/ TS和连续性
离散型Ts和周期性T0
周期性ΩS=2π/ TS和离散型Ω0=2π/ T0
由于长度为N的有限长序列可以看做是周期为N的周期序列的一个周期，因此利用DFS计算周期序列的一个周期，就可以得到有限长序列的离散傅里叶变换
正变换
X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2π/Nnk= X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk
x(n)=1/N∑n={0,N-1}X(k) WNexp^-nk
定义几个与X(k)相关的序列
幅度谱A(k)=|X(k)|
相位谱φ(k)=arctan{XI(k)/ XR(k)}
功率谱S(k)=A(k)*A(k)
2.离散傅里叶变换的物理意义及隐含的周期性
（1）物理意义
设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示
X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^jωn 
X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n
X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2π/Nnk
单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
离散傅里叶变换是x(n)的频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是DFT的物理意义.
（2）DFT隐含的周期性
DFT的一个重要特点就是隐含的周期性,从表面上看,离散傅里叶变换在时域和频域都是非周期的,有限长的序列,但实质上DFT是从DFS引申出来的,它们的本质是一致的,因此DTS的周期性决定DFT具有隐含的周期性。可以从以下三个不同的角度去理解这种隐含的周期性
(1)    从序列DFT与序列FT之间的关系考虑X(k)是对频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样，当不限定k的取值范围在[0,N-1]时，那么k的取值就在[0,2π]以外，从而形成了对频谱X(ejω)的等间隔采样。由于X(ejω)是周期的，这种采样就必然形成一个周期序列

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