<数据库原理二>参考习题解答
上海大学 董健全
5.2 设关系模式R有n个属性，在模式R上可能成立的函数依赖有多少个？其中平凡的FD有多少个？非平凡的FD有多少个？
解：这个问题是排列组合问题。FD形为X Y，从n个属性值中选择属性组成X共有C+C+ … +C=2n种方法；同理，组成Y也有2n种方法。因此组成X Y形式应该有2n·2n=4n种方法。即可能成立的FD有4n个。
平凡的FD要求Y X，组合X Y形式的选择有：
C·C+C·（C+C）+C·（C＋C+C）+ … +C（C＋C+ … C）=C·20+C·21+C·22+ … +C·2n=（1+2）n=3n
即平凡的FD有3n。因而非平凡的FD有4n－3n个。
5.3 对函数依赖X→Y的定义加以扩充，X和Y可以为空属性集，用φ表示，那么X→φ，φ→Y，φ→φ的含义是什么？
答：据推理规则的自反律可知，X φ和φ φ是平凡的FD，总是成立的。
而φ Y表示在当前关系中，任意两个元组的Y值相等，也就是当前关系的Y值都相等。
5.4 已知关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ A→B，B→C ｝，试写出F的闭包F+。
解：据已知条件和推理规则，可知F+有43个FD：
A φ AB φ AC φ ABC φ B φ C φ
A A AB A AC A ABC A B B C C
A B AB B AC B ABC B B C φ φ
A C AB C AC C ABC C B BC
A AB AB AB AC AB ABC AB BC ф
A AC AB AC AC AC ABC AC BC B
A BC AB BC AC BC ABC BC BC C
A ABC AB ABC AC ABC ABC ABC BC BC
5.5 设关系模式R（ABCD），如果规定，关系中B值与D值之间是一对多联系，A值与C 值之间是一对一联系。试写出相应的函数依赖。
解：从B值与D值之间有一对多联系，可写出函数依赖D B,从A值与C值之间是一对一联系。可写出函数依赖A C和C A。
5.6试举出反例说明下列规则不成立：
① ｛ A→B ｝⊨｛ B→A ｝
② ｛ AB→C，A→C ｝⊨｛ B→C ｝
③ ｛ AB→C ｝⊨｛ A→C ｝
答：设有三个关系：
r1 A B r2 A B C r3 A B C
1 1 2 1 2 1 2 3
2 1 2 2 2 1 3 4
3 2 3
（1）在关系r1中，A→B成立，但B→A不成立。
（2）在关系r2中，AB→C和A→C成立，但B→C不成立
（3）在关系r3中，AB→C成立，但A→C不成立。
5.7 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛ A→B，C→B ｝，则相对于F，试写出关系模式R的关键码。并说明理由。
解：R的关键码为ACD。因为从已知的F，只能推出ACD→ABCD。
5.8 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛A→B，B→C｝，
1试写出属性集BD的闭包(BD)+。
2试写出所有左部是B的函数依赖（即形为“B→？”）。
解：①从已知的F，可推出BD→BCD，所以(BD)+=BCD。
②由于B+=BC，因此左部是B的FD有四个：
B→φ，B→B，B→C，B→BC。
5.9设关系模式R（ABC）分解成ρ=｛ AB，BC ｝，如果R上的FD集F=｛ A→B ｝，那么这个分解是损失分解。试举出R的一个关系r，不满足mρ（r）=r。
解：这个反例r可以举测试时的初始表格：
A B C
AB a1 a2 b13
BC b21 a2 a3
πAB（r）⋈πBC（r）有四个元组：
A B C
a1 a2 b13
a1 a2 a3
b21 a2 b13
b21 a2 a3
即mρ（r）≠r。
5.10试解释数据库“丢失信息”与“未丢失信息”两个概念。“丢失信息”与“丢失数据”有什么区别？
答：数据库中丢失信息是指r≠mρ（r），未丢失信息是指r=mρ（r）。
丢失信息是指不能辨别元组的真伪，而丢失数据是指丢失元组。
5.11设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ A→C，B→C ｝，试分别求F在模式AB和AC上的投影。
答：πAB（F）=φ（即不存在非平凡的FD）
πAC（F）={ A→C }
5.12设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ B→A，C→A ｝，ρ=｛ AB，BC ｝是R上的一个分解，那么分解ρ是否保持FD集F？并说明理由。
答：已知F={ B→A，C→A }，而πAB（F）={ B→A }，πBC（F）=φ，
显然，分解ρ丢失了FD C→A。
5.13设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ B→C，C→A ｝，那么分解ρ=｛ AB，AC ｝相对于F，是否无损分解和保持FD？并说明理由。
答：①已知F={ B→C，C数据库设计的意义→A }，
而πAB（F）=φ，πAC（F）={ C→A }
显然，这个分解丢失了FD B→C
② 用测试过程可以知道，ρ相对于F是损失分解。
5.14设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛ A→B，B→C，A→D，D→C ｝，ρ=｛ AB，AC，BD ｝是R的一个分解。
1相对于F，ρ是无损分解吗？为什么？
2试求F在ρ的每个模式上的投影。
3ρ保持F吗？为什么？
答：①用测试过程可以知道，ρ相对于F是损失分解。
②πAB（F）={ A→B }，πAC（F）={ A→C }，πBD（F）=φ。
③显然，分解ρ不保持FD集F，丢失了B→C、A→D和D→C等三个FD。
5.15设关系模式R（ABCD），R上的FD集F=｛ A→C，D→C，BD→A｝，试说明ρ=｛ AB，ACD，BCD ｝相对于F是损失分解的理由。
答：据已知的F集，不可能把初始表格修改为有一个全a行的表格，因此ρ相对于F是损失分解。
5.16设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛ AB→CD，A→D ｝。
1试说明R不是2NF模式的理由。
2试把R分解成2NF模式集。
答：①从已知FD集F，可知R的候选键是AB。
另外，AB→D是一个局部依赖，因此R不是2NF模式。
3此时R应分解成ρ={ AD，ABC }，ρ是2NF模式集。
5.17设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ C→B，B→A ｝。
1试说明R不是3NF模式的理由。
2试把R分解成3NF模式集。
答：①从已知FD集F，可知R的候选键是C。
从C→B和B→A，可知C→A是一个传递依赖，因此R不是3NF模式。
3此时R应分解成ρ={ CB，BA }，ρ是3NF模式集。
5．18设有一个记录各个球队队员每场比赛进球数的关系模式
R（队员编号，比赛场次，进球数，球队名，队长名）
如果规定每个队员只能属于一个球队，每个球队只有一个队长。
1试写出关系模式R的基本FD和关键码。
2说明R不是2NF模式的理由，并把R分解成2NF模式集。
3进而把R分解成3NF模式集，并说明理由。
解：（1）根据每个队员只能属于一个球队，可写出FD：队员编号→球队名
根据每个球队只有一个队长，可写出FD：球队名→队长名
“每个队员每场比赛只有一个进球数”，这条规则也是成立的。因此还可写出FD：
（队员编号，比赛场次）→进球数
R的关键码为（队员编号，比赛场次）。
（2）R中存在这样的FD：
（队员编号，比赛场次）→（球队名，队长名）
队员编号 →（球队名，队长名）
可见前一个FD是局部依赖，所以R不是2NF模式。
R应分解成R1（队员编号，球队名，队长名）
R2（队员编号，比赛场次，进球数）
此处，R1和R2都是2NF模式。
（3）R2已是3NF模式。
在R1（队员编号，球队名，队长名）中，存在两个FD：
队员编号 → 球队名
球队名 → 队长名
关键码为队员编号，存在传递依赖，因此R1不是3NF模式。
R1应分解成R11（队员编号，球队名）
R12（球队名，队长名）
这两个模式都是3NF模式。
因此，R分解成3NF模式集时，ρ= { R11，R12，R2 }。
5.19设有关系模式R（职工编号，日期，日营业额，部门名，部门经理），该模式统计商店里每个职工的日营业额，以及职工所在的部门和经理信息。
如果规定：每个职工每天只有一个营业额；每个职工只在一个部门工作；每个部门只有一个经理。
试回答下列问题：
（1）根据上述规定，写出模式R的基本FD和关键码；
（2）说明R不是2NF的理由，并把R分解成2NF模式集；
（3）进而分解成3NF模式集。
解：（1）基本的FD有三个：
（职工编号，日期）→ 日营业额
职工编号 → 部门名
部门名 → 部门经理
R的关键码为（职工编号，日期）。
（2）R中有两个这样的FD：
（职工编号，日期）→（部门名，部门经理）
职工编号 → （部门名，部门经理）
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