第四章  多元线性回归模型
在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。
一、预备知识
（一）相关概念
对于一个三变量总体，若由基础理论，变量和变量之间存在因果关系，或的变异可用来解释的变异。为检验变量和变量之间因果关系是否存在、度量变量对变量影响的强弱与显著性、以及利用解释变量去预测因变量，引入多元回归分析这一工具。
将给定条件下的均值
                                  （4.1）
定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF）。定义为误差项（error term）,记为，即，这样，或
                                        （4.2）
（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。其中，称为解释变量（explanatory variable）或自变量（independent variable）；称为被解释变量（explained variable）或因变量（dependent variable）；误差项解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
在总体回归模型（4.2）中参数是未知的，是不可观察的，统计计量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。给定一组随机样本，对（4.1）式进行估计，若的估计量分别记为，则定义（4.3）式为样本回归函数
                        （）      （4.3）
注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说是随机变量，它们的随机性是由于的随机性（同一组可能对应不同的）、各自的变异、以及之间的相关性共同引起的。定义为残差项（residual term）,记为，即，这样，或
              （）              （4.4）
（4.4）式称为样本回归模型或者随机样本回归函数。样本回归模型中残差项可视为总体回归模型中误差项的估计量。
（二）多元线性回归模型的矩阵表示
多元线性回归模型的参数估计比一元线性回归模型要复杂得多，为了便于计算和分析，便于将结果由三变量总体推广到一般的多变量总体，引入矩阵这一工具简化计算和分析。
设是取自总体的一组随机样本。在该组样本下，总体回归模型（4.2）式可以写成方程组的形式
                     
利用矩阵运算，可表示为
                                  （4.5）
记，, ,
则在该组样本下，总体回归模型的矩阵表示为
                                                    （4.6）
记,
则样本回归模型的矩阵表示为
                                                      （4.7）
（三）模型假定
假定1 回归模型是参数线性的，并且是设定正确的。
假定2 随机误差项与解释变量不相关。即
，。
如果解释变量是非随机的，则该假设自动满足。
假定3 零均值假定。即
，
假定4 同方差假定。即
，
假定5 无自相关假定。即两个误差项之间不相关
    ，，
假定6 解释变量与之间不存在完全共线性，即两个解释变量之间无确切的的线性关系。
假定7 正态性假定。即
～，
（四）参数估计与估计量的分布
系数向量的OLS估计为
                                                （4.8）
其中，为的转置矩阵。在随机误差项服从正态分布的假定下，系数向量的估计量也服从正态分布，即
                          ～                  （4.9）
记的第j个主对角元素为，则
                            ～                  （4.10）
有了系数估计量的分布，就可以对总体参数做假设检验。与双变量总体相同，总体误差是不可观察的，因而其方差是未知的。若用的无偏估计量代替，则OLS估计量服从自由度为的t分布，而不是正态分布，即
                            ～                  （4.11）
其中，，。
（五）预测原理
回归分析的目的之一是利用回归模型预测因变量。假设三变量总体的回归模型为（4.2），即
                                        （4.2）
在一组随机样本下，利用OLS求得样本回归函数为（4.3）
                    （）        （4.3）
给定样本外一点，则因变量的点预测为
                                          （4.12）
点预测的标准误为
                                          （4.13）
因变量的置信度为的区间预测为
                  [,]          （4.14）
二、案例
[案例1] Woody餐馆的选址分析
Woody餐馆是一家价位适中、24小时营业的家庭连锁店，公司邀请你决策下一家连锁店的选址问题。你决定建立一个回归模型来解释每一家连锁餐馆的毛销售额Y（the gross sales volume）,通过文献的阅读，你认为以下变量对毛销售额的影响较大，
variable怎么记
N =竞争变量：餐馆位置半径2里以内市场直接竞争者的数量；
P=人口：    餐馆位置半径3里以内人口的数量；
I=收入：    餐馆位置半径3里以内家庭平均收入。
并且通过调研，你获得了33家Woody餐馆连锁店的数据。
[案例2] 经济形势和实际工资对人们工作意愿的影响
在第三章，我们根据劳动经济学理论，分析了经济形势对人们工作意愿的影响存在两种效应：
受挫工人效应和增加工人效应；并且利用1980-2002年的数据实证了受挫工人效应占主导地位。
但根据劳动经济学理论，影响人们工作意愿的因素，除了经济形势以外，还有实际的工资水平。从理论上说，实际工资增加对劳动供给具有两种效应：替代效应与收入效应。替代效应趋于使劳动供给增加，而收入效应则趋于使劳动供给降低，两种效应的相对影响取决于家庭的偏好（参考文献[4]，p49）。
本案例考察实际工资对人们工作意愿是否有影响，以及在有影响的情况下，那种效应占优。数据见表3.1。
三、实验目的
[案例1] Woody餐馆的选址分析
1、绘制Y对N、P、I的散点图，并在散点图中附加回归线。
2、建立Y对N、P、I的线性回归模型，并定性分析解释变量N、P、I对Y的影响。
3、利用样本数据及OLS法对回归模型进行估计，并报告回归结果。
4、观察回归系数的显著性和方程的显著性，并解释回归系数的含义。
[案例2] 经济形势和实际工资对人们工作意愿的影响
1、绘制clfpr对ahe82的散点图，并附回归线，观察城市劳动参与率与实际工资之间的线性关系。
2、建立clfpr对ahe82的一元线性回归模型，利用1980-2002年的数据估计模型，并观察回归系数的显著性和方程的显著性。
3、同时考虑经济形势与实际工资对人们工作意愿的影响，建立二元线性回归模型，利用1980-2002年的数据估计模型，观察回归系数的显著性和方程的显著性，并解释回归系数的经济含义。
4、对上面（2）与（3）中估计结果的差别进行解释。

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