一次函数知识点
一、函数与变量
常量与变量的概念：
我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间相互依赖、密切相关．
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．
在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一个值，都有惟一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时也称是的函数．
在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积与圆的半径存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，随着的变化而变化，是自变量，是因变量；
◆“有唯一值与对应”是指在自变量的取值范围内，每取一个确定值，都唯一的值与之相对应，否则不是的函数．
◆判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．取不同的值，的取值可以相同． 例如:函数中，时，；时，．
◆函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．
数学上表示函数关系的方法通常有三种：
⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，．
⑵列表法：通过列表表示函数的方法．
⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
关于函数的关系式(即解析式)的理解：
●函数关系式是等式． 例如就是一个函数关系式．
●函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．
例如：是自变量，是的函数．
●函数关系式在书写时有顺序性．
例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数．
●求与的函数关系时，必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．
自变量的取值范围：
很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如中，自变量受到开平方运算的限制，有即；
当汽车行进的速度为每小时公里时，它行进的路程与时间的关系式为；这里的实际意义影响的取值范围应该为非负数，即．
在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：
⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．
⑵分母中含有自变量：分母不为．
⑶实际问题：符合实际意义．
函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．
描点法画函数图象的步骤：⑴列表；    ⑵描点；    ⑶连线．
函数解析式与函数图象的关系：
⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．
二、一次函数及其性质
●知识点一  一次函数的定义
    一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
●知识点二 一次函数的图象及其画法
    ⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．
    ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
    ①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；
    ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．
    ⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．
●知识点三  一次函数的性质
    ⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
    ⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．
●知识点四  一次函数的图象、性质与、的符号
⑴
一次
函数
，
符号
图象
性质
随的增大而增大
随的增大而减小
⑵一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．
当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．
反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．
●知识点五  用待定系数法求一次函数的解析式
    ⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．
    ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：
    ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
    ②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
    ③解方程（组），得到待定系数的值；
    ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．
1.一次函数与一元一次方程的关系：
直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。
2.一次函数与一元一次不等式的关系：
任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
3.一次函数与二元一次方程（组）的关系：
    一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。
一次函数与正比例函数概念

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