第17章  函数及其图象
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师者，所以传道，授业，解惑也。韩愈
17.3一次函数
1.一次函数
【知识与技能】
1.理解一次函数和正比例函数的概念；2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式．
【过程与方法】
探索一次函数图象的特点以及某些一次函数图象的异同点，培养学生发现问题和解决问题的能力
【情感态度】
通过理解函数与变量之间的关系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维
【教学重点】
一次函数、正比例函数的概念及关系
【教学难点】
理解一次函数与正比例函数的联系和区别
一、情境导入,初步认识
1.作函数图象一般步骤是什么?
2.在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
(1)y=2    (2)y=x＋2
【教学说明】
对上节课的知识进行复习，为本节课作准备.
二、思考探究，获取新知
探究：一次函数的概念
问题1：小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离．
分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是：
s=570－95t．
问题2：弹簧下端挂重物，弹簧会伸长.弹簧的长度y(厘米)是所挂重物质量x(千克)的函数.已知一根弹簧不挂重物时的长度是6厘米，在一定的弹性限度内，每挂1千克重物弹簧伸长0.3厘米，求这个函数解析式.
解：y=0.3x+6
以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?
【归纳结论】
上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为y=kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0．特别地，当b=0时，一次函数y=kx（常数k≠0）也叫正比例函数，正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例.
【教学说明】
由两个实际问题所列出两个函数关系式，通过观，总结出一次函数的解析式.
三、运用新知，深化理解
1.下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
(1)面积为10cm2的三角形的底边边长a(cm)与这边上的高h(cm)；
(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；
(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；
(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．
分析：确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx＋b(k≠0)或y=x(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．
一次函数与正比例函数概念
解:(1)a=，不是一次函数．
(2)L=2b＋16，L是b的一次函数．
(3)y=120－5x，y是x的一次函数．
(4)s=40t,s既是t的一次函数又是正比例函数．
2.把直线y=32x＋1向上平移3个单位所得到的解析式为_______.
解：y=32x＋4
3.已知函数y=+1,求函数图像与坐标轴围成的三角形的面积？
解：
4.已函数y=(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．
分析：根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．
解：若y=(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1=0,即k= 。
若y=(k－2x＋2k＋1是一次函数,则k－2≠0，即k≠2．
5.已知y与x－3成正比例，当x=4时，y=3．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)y与x之间是什么函数关系；
(3)求x=2.5时，y的值．
解：(1)y=3x-9    (2) 一次函数    (3)y=-1.5
【教学说明】
先让学生独立完成，对有难度的题目，教师作适当的提示.
四、师生互，课堂小结
一次函数、正比例函数的概念是什么？它们之间有什么关系？
1.布置作业:教材P45“练习”
2.完成本课时对应练习.
在具体问题中,如果涉及两个变量且只包含一个等量关系时,常用两个字母表示这两个变量,通过建立函数模型来解决问题.识别一个具体的函数是否为一次函数或正比例函数的关键是理解一次函数、正比例函数的意义及能否转化成其一般表达形式.
【素材积累】
一个从小练习芭蕾舞的女孩，决定将跳舞作为终身职业。一天，她去求见芭蕾舞团团长，说：我想成为出的芭蕾舞演员，不知我是否有这个天分?团长看她跳了一段舞，摇了摇头说：不，你没有这个条件。女孩把舞鞋扔到箱子底下，再也没穿过。

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