一次函数与正比例函数
 
【教学目标】
知识技能：理解一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的表示方法；
数学思考：经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符号意识；
问题解决：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,掌握分析问题和解决问题的基本方法，发展学生的抽象思维能力；
情感态度：在运用一次函数解决实际问题的过程中，认识数学的严谨性，体会数学的实际应用价值。
【教学重难点】
重点：理解一次函数和正比例函数的概念.
难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.
【教法与学法】一次函数与正比例函数概念
教学方法：针对本节课内容采用学案导学、自主探究、合作探究、互动生成的教学方法.
学法指导：本节课采用学生小组合作方式，面向全体，尊重差异，指导学生主动参与，体验成功，感受快乐.
【教学过程】
（导语：今天是XXX年XX月XX日，你的年龄又增长了一点点，在这个变化过程中，反映的是哪两个变量之间的关系？（时间和年龄）这两个变量之间的关系就是函数关系.）
一、旧知再现
（一）回顾思考
1.什么是函数？
2.函数的三种表示方法；
3.常用公式及等量关系 .
【设计意图：学生通过对已有知识简单的回顾，为接下来的的学习做好铺垫。第一个问题是为一次函数的定义做铺垫；第二个问题是为一次函数各表示方法的互相转换打基础；第三个问题是为一次函数的实际应用提供列式依据。】
（二）生活中的数学
1.某种大米的单价是2.2元/kg，当购买xkg大米时,花费为y元，写出y与x之间的关系式;
2.长方形的面积为10,长为b，宽为a,写出b与a之间的关系式;  3.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
时间t(s)
1
2
3
4
……
距离s(m)
1
4
9
16
……
写出S与t的函数关系式；
4.一棵树现在高50cm，每月长2cm，x月后这课树的高度为ycm，写出y与x之间的关系式； 
5.一辆汽车匀速行驶,它行驶的路程S(km)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示，请写出S与t的关系式; 
6.一盘蚊香105cm，点燃后每小时燃烧10cm，x小时后蚊香的长为ycm，写出y与x之间的关系式. 
（学生写出各关系式，教师巡视纠错后，直接展示各题答案，学生自行纠错）
【设计意图：选取课本中的部分生活实际问题，涵盖各种形式：有文字叙述，有表格，有图象，让学生写出变量间的关系式，并做判断是否是函数关系，有四方面的意图。一是再一次在具体情境中复习函数关系，二是为接下来的探究环节提供素材，三是让学生初步感受三种函数表示方法间的互相转换，四是让学生体会数学在实际生活中的价值，达成部分教学目标。
】
二、合作探究
（一）探索交流
将下列函数关系式进行适当的分类，并说一说你分类的依据：
（将上述关系式写在纸条上并贴在黑板上，学生自行按照某种标准分类后，请不同分类标准的学生将自己的结果展示在黑板上.）
【设计意图：本环节的活动分三阶段进行，一是自主分类，二是组内交流，三是教师引导。通过分类活动，让学生学会自主探究与合作探究相结合，初步感受初中阶段学习的三类不同函数：一次函数、反比例函数和二次函数，既引出本节课的课题----一次函数与正比例函数，又体现了知识体系的完整性和连续性。】
（二）一次函数、正比例函数的定义及两者关系
一次函数：若两个变量 x、y之间的关系可以表示成 y = kx+b( k、b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量）
  特别地，当b=0时，即y=kx（k≠0）， 称y是x的正比例函数.
提出问题：正比例函数一定是一次函数吗？
【设计意图：对于分类后的一次函数，让学生通过观察到关系式的共性，提炼出一次函数
的定义之后，再进行二次分类，指出正比例函数是一次函数的特例。这样的设计，可以锻炼学生的逻辑思维和概括能力。两者关系的直观辨析，再次让学生明确两者的包含关系。】

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