【中考数学复习】一次函数与反比例函数
知识提要
初中代数中涉及的函数有：一次函数（包括正比例函数）、反比例函数、二次函数.每种函数一般从下面四个方面研究：定义，图象，性质，求解析式.本讲研究一次函数和反比例函数.
一、一次函数
1、定义：函数)0(≠+=k b kx y 称为一次函数，若0=b 则称函数为正比例函数.
2、图象：一次函数是过点（0，b ）和点（k
b -，0）的直线.当b=0时的正比例函数)0(≠=k kx y 是过原点的一条直线，若k 与b 的符号不同，则直线经过的象限也不同，如图所示：
3、性质：当0>k 时，y 随x 的增大而增大；
当0<k 时，y 随x 的增大而减小.
（此性质为一次函数的单调性）
另外，正比例函数关于原点O 中心对称
4、求解析式：求一次函数的解析式，一般需要两个条件，求出表达式b kx y +=中的k 及b 的值，常用待定系数法来求一次函数.
而正比例函数的解析式只需要一个条件.
二、反比例函数
1、定义：形如)0(≠=k x k y 形式称为反比例函数，定义域为0≠x 的所有实数.
一次函数与正比例函数概念2、图象：反比例图象为双曲线，如图所示：
3、性质：反比例函数x k y =在0>k 且0>x 时，函数值y 随x 的增大而减小；在0>k 且0<x 时，函数值y 随x 的增大而减小.即：当0>k 时，反比例函数x k y =分布在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，如图（1）所示.当0<k 时，反比例函数x
k y =
分布在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如图（2）所示.反比例函数x k y =图象上的点关于原点O 成中心对称的.当0>k 时，函数的图象关于直线x y =成轴对称；当0<k 时，函数的图象关于直线x y -=成轴对称.
4、求解析式：反比例函数的解析式，只需要一个条件，求出x
k y =
)0(≠k 中的k 即可.
在解决有关一次函数及反比例函数的问题时，常运用数形结合及分类讨论的思想方法.待定系数法是研究函数表达式的基本方法，同时紧密结合图象寻求思路，是处理这类问题的重要方法.
例1、已知正比例函数x y =和)0(>=a ax y 的图象与反比例函数x
k
y =（k>0）的图象在第一象限内分别相交于A 、B 两点，过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，设△AOC 和△BOD 的面积分别为1S 、2S ，则1S 与2S 的大小关系怎样？
例2、两个反比例函数x y 3=，x y 6=在第一象限内的图象如图所示，点1P ，2P ，3P ，…2005P 在反比例函数x y 6=图象上，它们的横坐标分别是1x ，2x ，3x ，…2005x ，纵坐标
分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点1P ，2P ，
3P ，…2005P 分别作y 轴的平行线，与x
y 3=
的图象交点依次是)(111y x Q ，，)(222y x Q ，，)(333y x Q ，，…)(200520052005y x Q ，，则_________2005=y .
例3、平面直角坐标系内有A （2，－1）、B （3，3）两点，点P 是y 轴上一动点，求P 到A 、B 距离之和最小时的坐标.
例4、已知一次函数的图象经过点（2，2），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的解析式.
例5、已知A （-2，0）、B （4，0），点P 在直线22
1+=
x y 上，若△PAB 是直角三角形，求点P 的坐标.例6、已知两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供两个方面的信息，如图所示，请根据图中提供的信息，求：
（1）第2年全县生产甲鱼的只数及甲鱼池的个数；
（2）到第6年，这个县的甲鱼养殖规模比第1年是扩大了还是缩小了，请说明理由.
例7、如图，已知C 、D 是双曲线x
m y =在第一象限内的分支上的两点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，设C 、D 的坐标分别是（11y x ，）、（22y x ，），连接OC 、OD.
（1）求证：1
11y m y OC y +<<；（2）若α=∠=∠AOD BOC ，31tan =
α，10=OC ，求直线CD 的解析式.
（3）在（2）的条件下，双曲线是否存在一点P ，使POD POC S S ∆∆=？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
例8、有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进水不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间x （分）与水量y （升）之间的关系如图所示，若20分钟后只放水不进水，求多长时间能将水放完？

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