一次函数的应用
一次函数的应用一、学习目标：
1. 巩固一次函数的知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．
2. 熟练掌握一次函数与方程，不等式的关系，有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．
二、重点、难点：
运用一次函数与正比例函数的图象和性质解决实际问题。各种数学思想的渗透和应用。
三、考点分析：
利用函数解决实际问题，并求最值，这是近三年中考应用题的新特点。一次函数的概念、图象和性质是中考的必考内容，一次函数的应用是中考的热点内容。中考对这部分内容的要求是结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次函数的图象，根据图象与表达式探索并理解其性质；根据一次函数的图象求二元一次方程组的近
似解；利用一次函数解决实际问题。利用一次函数解决实际问题的题型多样，填空、选择、解答、综合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力．
典型例题
此前我们学习了有关一次函数的一些知识，认识了变量间的变化情况，并系统学习了一次函数的有关概念及应用，且用函数观点重新认识了方程及不等式，利用函数观点把方程（组）、不等式有机地统一起来，使我们解决相关实际问题时更方便了．
例1. 乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元（即起步价4元）；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米的部分每千米收费1.5元．
（1）请你求出x≥2时乘车费用y（元）与行驶路程x（千米）之间的函数关系式；
（2）按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整（如计费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元），小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围。
思路分析：
1）题意分析：本题考查一次函数与不等式的综合运用。
2）解题思路：注意审题。注意考虑函数的取值范围，能灵活应用所学知识解决问题。
解答过程：
（1）根据题意可知：y＝4+1.5（x－2），
∴ y＝1.5x+1（x≥2）
（2）依题意得：7.5≤1.5x+1＜8.5
∴≤x＜5
解题后的思考：一次函数的性质：当k>0，时y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。
例2. 某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共300株．已知甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元．
（1）若购买树苗共用21000元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？
（2）据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为0.2和0.6，问如何购买甲、乙两种树苗才能保证该小区的空气净化指数之和不低于90而且费用最低？
思路分析：
1）题意分析：本题考查一次函数的实际应用。
2）解题思路：根据题意，先将实际问题转化为数学问题，第（1）问可通过列方程解决问题；第（2）问可建立一次函数模型，通过函数性质解决问题。
解：（1）设甲种树苗买x株，则乙种树苗买(300－x)株．
60x+90(300－x)＝21000 
x＝200 
300－200＝100 
答：甲种树苗买200株，乙种树苗买100株．
（2）设买x株甲种树苗，(300－x)株乙种树苗时该小区的空气净化指数之和不低于90．
一次函数与正比例函数概念0.2x+0.6(300－x)≥90
0.2x+180－0.6x≥90
－0.4x≥－90
x≤225
此时费用y＝60x+90(300－x)
y＝－30x+27000 
∵ y是x的一次函数，y随x的增大而减小
∴当x最大＝225时，y最小＝－30×225+27000＝20250(元)
即应买225株甲种树苗，75株乙种树苗时该小区的空气净化指数之和不低于90，费用最小为20250元．
解题后的思考：注意实际问题中自变量的取值范围必须使实际问题有意义。一次函数的增减性是其重要性质，不仅可以用这一特点解决系数中字母取值范围的问题，还可以利用这一性质解决实际问题中的最值问题。
例3. 某市组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：

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