新浙教版八年级上册第六章《一次函数》知识点总结及典型例题
关于基本概念和性质的知识点
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题：在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
★★★判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应
例题：1、下列说法正确的是：（ ）
A 变量x，y满足y2=x，则y是x的函数 B变量x，y满足x+3y=1，则y是x的函数
C 等式πr3是所含字母r的函数 D 在V=πr3中，是常量，r是自变量，V是πr的函数
例题：2、下列解析式中，y不是x的函数的是（ ）
A y+x=0 B |y|=2x C y=2|x| D y=2x2+4
例题：3、下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有
些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
例题：东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________．
例题：平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．
自变量取值范围：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围。
确定函数自变量取值范围的方法：
（1）必须使关系式成立。
①当关系式为整式时，自变量取值范围为全体实数；
②当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零；
③关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方的式子不小于零；
④当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；
（2）当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围还要符合实际情况，使之有意义。
（3）当函数关系表示一个图形的变化关系时，自变量的取值范围必须使图形存在。
例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=·
例题：函数y=中自变量x的取值范围是___________.
例题：已知函数，当时，y的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
3、一 次 函 数（概念及待定系数数）
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数） 则此时称y是x的一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为任意不为零实数）
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。
例题：1下列函数中：（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：确定一次函数的表达式
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）代入得2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
（3）解这个二元一次方程组，得到k，b的值。
（4）写出这个一次函数的表达式。
4、一次函数的图像 （图象与性质）
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（，0）.
b>0 | b<0 | b=0 | |
k>0 一次函数与正比例函数概念 | 经过第一、二、三象限 | 经过第一、三、四象限 | 经过第一、三象限 |
图象从左到右上升，y随x的增大而增大 | |||
k<0 | 经过第一、二、四象限 | 经过第二、三、四象限 | 经过第二、四象限 |
图象从左到右下降，y随x的增大而减小 | |||
判断函数图象的位置
例题：若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例题：一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
一次函数性质：
1 在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
2 一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0），正比例函数的图像总是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
★★★当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）
正比例函数性质
解析式：y=kx（k是常数，k≠0），必过点：（0，0）、（1，k）
走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
例题：正比例函数，当m 时，y随x的增大而增大.
例题：若是正比例函数，则b的值是（ ）
A.0 B. C. D.
例题：函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )
A. B. C. D.
5、一次函数的简单应用：也就是应用它的概念、图象或性质解题
确定字母系数的取值范围
例题：已知正比例函数 ，则当m=______________时，y随x的增大而减小。
比较x值或y值的大小
例题： 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定
例题：一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式 ，如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围 .
例题：若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .
例题：y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）
例题：将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线 .
例题：若直线和直线的交点坐标为(),则____________.
例题：已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）
A．3m+1 B．3m C．m D．3m－1
拓展一下：正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）两直线平行：k1=k2且b1 b2 （2）两直线相交：k1k2 （3）两直线重合：k1=k2且b1=b2
一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
考点一：变量、常量及函数定义
考点二、自变量取值范围
考点三、函数的图像与解析式的关系：特别注意分段函数的解析式及图像
考点四、一次函数和正比例函数的定义
考点五、待定系数法——求函数解析式
考点六、一次函数图像的位置
考点七、一次函数的增减性
考点八、两直线的位置关系
考点九、用函数的观点看方程（组）、不等式
将考点与相关习题联系起来
考点一：变量、常量及函数定义
1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（ ）
A. B. C. D.
2、下列各图中，不能表示y是x的函数图像的是 （ ）
考点二、自变量取值范围
1、函数的自变量x的取值范围是
2、函数的自变量x的取值范围是
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