期权估价的要点
期权估价涉及到很多参数，但这些参数有时候在不同模型中代表着不同的涵义。如果在学习中对公式死记硬背或者说一知半解，你最终都会在考试中出现一些差错。或许你不会出现差错，这样的原因有三：第一就是出题老师不想你出错，直接告知你已知条件，第二就是你家祖坟冒青烟，祖宗显灵了，第三就是你突然大彻大悟，成了先知。
1、期权估价中的t
期权估价中涉及到t，也就是时间。t仍然是t，但相关模型中的t概念却存在本质的不同。
1.1  B-S模型中的t是期权到期日前的时间。期权3年到期，那么该期权到期日前存在的时间就是3年，t=3；如果一个期权2年9个月到期，那么该期权到期日前存在的时间就是2年9个月，t=2.75。
实物期权中的扩张期权就是运用这个原理。比如，某公司目前投资了一个项目，进行了第一期投资，该投资使第二期投资5年后得以上马。如果考虑到期权，这里的t=5。
1.2  二叉树模型中的t是期权每期所包含的时间，此处的t是年概念。二叉树实际上是计算期权价值的一种技术手段，在该技术手段中，t是期权每期包含的时间，也是每两期之间间隔的时间。比如期权分6期，每期2个月。当第一期持续2个月后，第二期开始，这里的t就是两个月，也就是1/6年，因此t=1/6。下面再举几个特殊例子，以明白t的概念。
例1：一个期权分为4期，每3个月一期，也就是1/4年，此时t=1/4=0.25。
例2：一个期权分为8期，那么每期就是8/12年，即2/3年，此时t=2/3=0.6667。
例3：一个期权8个月到期，每半个月一期，那么该期权共16期。这16期、到期时间为8个月的期权，每期是多长时间呢？由于每期是半个月，那么每期的时间就是0.5/12=1/24年，因此t=1/24。
例4：如果一个期权3个月到期，每天作为一期，此时每期就是1/365年，t=1/365。
1.3 在风险中性原理中，期权每期持续的时间就是t，此时的t跟二叉树模型一样。尽管如此，但需要对风险中性原理中的无风险利率rc进行分析。如何运用rc，以及运用什么样的rc，下面就开始进行分析。
2、期权估价中的rc
2.1 在风险中性原理中，采用的是无风险利率rc。那么rc采用的是多少呢？此处的rc就是期权对应期间的无风险利率。换一句话说，期权每期持续的时间多长，就用多长的rc。
例1：年无风险利率是4%，如果期权6个月到期，那么该期权对应的无风险利率就是2%；
例2：上述例1中的期权如果是3个月到期，那么该期权对应的无风险利率就是1%。
例3：上述例1中的期权如果是3个月到期，并且分为3期。此时每期就是一个月，那么该期权每期对应的无风险利率rc就是4%÷12=0.3333%。
例4：上述例1中的期权如果是5个月到期，每天做为1期。此时每期就是1天，那么该期权每期对应的无风险利率rc就是4%÷365=0.011%。
2.2 B-S模型中的无风险利率是一个确定的值，就是年无风险利率，是指连续复利情况下的无风险利率。
在期权模型中以及实物期权中，如果掌握了t以及无风险利率，相关问题就会变得轻松一些，
至少在计算过程中得心应手一些。
3、二叉树的计算
在二叉树模型中以及在实物期权中的放弃期权中，涉及到大量数据的计算，尤其是股价的上升或下降的计算。期数一多，这种计算就会变得越来越复杂。繁琐的计算会让你在有限的考试时间内丧失信心，至少担心每步的正确与否。
----果真复杂吗？在这里，我根据日常学习过程中总结的经验，让这种计算变得轻而易举，而且不会容易出错。
在二叉树模型中，首先计算出S0的下行数值和上行数值，一气呵成一直计算到期权到期日。这部分的计算非常简单，可以说跟小学生算术一样简单，何况你还有计算器，因此从一定程度上讲，你的计算比小学生计算还要简单。当然了，如果是考试，这部分的分数或许连1分都不到。
第二步的计算涉及的数据非常多，也容易出错，但是如果你掌握了一个原理，根本就不需要计算，直接填列相关数字。
我们知道u×d=1。也就是说，上行乘数和下行乘数互为倒数。掌握了这个道理，第二步的计算根本不需要计算，直接填列数字即可。直接填列数字不仅会让你信心倍增，还会让你在有限的时间里提高效率和准确率。下面就原理做进一步演算：
Su=S0×u
Sud=Su×d=S0×u×d= S0
从上面的计算，我们可以看出， Sud和S0是相等的，也就是说，股价基价上行数值的下行数值等于股价基价。
期权
1、    期权出售人不一定拥有拥有标的资产（公司本身、其股股票、没有投票权、也不获股利）
2、    欧式（到期日）；美式（任何一天）
3、    看涨期权：将来购入权（80）；认为将来涨到90，赚10；但跌到60，不执行，损失期权费5
4、    看跌期权：将来出售权（80）；认为将来跌到60，赚20；但涨到90，不执行，损失期权费5
5、    期权市场：执行价格高，购入价就高，看涨期权价格越低； 执行价格高，售出价就高，看跌期权价格越高
6、    多头空头：多头，收入>付出,多头多,头寸松，期权购买者；空头，收入<付出,空头多头寸紧，期权出售者
7、    卖空：预期将来跌（60）先出售（80）收钱但不交资产（持有空头），将来跌了再用60购入赚20；
当前市价100，执行价100    期权价5
到期股价    <95；90    95-100；97    100-105；103    >105；110
买入看涨期权；将来以100购入    不执行：亏5    不执行：亏5    执行；收入103-100；亏3-5    执行，收入110-100；赚10-5
卖出看涨期权：将来以100售出    不执行：赚5    不执行：赚5    执行；收入100-103；赚5-3    执行；收入110-100；亏5-10
买入看跌期权：将来以100售出    执行；收入100-90；赚10-5    执行；收入100-97；亏3-5   
不执行：亏5    不执行：亏5
卖出看跌期权：将来以100购入    执行；收入90-100；亏5-10    执行；收入97-100；赚5-3    不执行：赚5    不执行：赚5

投资策略    组合方式    特点    理解
保护性看跌期权    股票+购入看跌期权    锁定最低收入和最低净损益；降低净损益预期    跌时可赚期权收益；涨时损失期权费
抛补看涨期权    股票+出售看涨期权    缩小未来不确定性；股价上锁定收入和净收益；股价下跌净损失比单纯股票小相当于期权价格    跌时可赚期权费；涨时期权损失（抵股票上涨）
对敲    同时购入看涨和看跌期权    股价变化大不论涨跌都有收益，变化不大损失期权费    涨很多时，看跌只损期权费；跌很多时，涨也只损期权费
8、    期权内在价值：期权立即执行产生的经济价值；执行正回报实值，虚值不会执行，实值可能执行（到期日肯定执行）
9、    时间溢价：一定时期内的波动可能性
10、    影响期权价的因素：股价；执行价格；到期期限（欧式不一定）；波动率（最重要）；
无风险利率（执行价现值）；期权有效期内预计红利（股价下跌）
11、    期权价上限：股价；下限：内在价值

第二节 股权价值评估的方法
一、期权估价原理
（一）复制原理
1．基本原理
指构建一个由股票市场上的股票投资和期权市场上的期权投资组成的无风险的对冲组合。
对冲指一项金融资产的变化被另外一项金融资产的变化所抵销。
2．基本思想
构造一个股票喝借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
3．例题
假设ABC公司股票目前的市场价格为50元，而在半年后的价格可能是66.67元和37.5元两种情况。再假定存在1股该种股票的看涨期权，期限是半年，执行价格为52.08元。投资者可以
按2%的无风险利率借款。
我们将考察两个可能的策略：第一个策略是售出1股该股票的看涨期权，获得期权费（期权的现行价格）C0；第二个策略是现在购进X股上述股票且按无风险利率2%借入资金，借款数额设定为Y。目前的现金净流量=50X-C0-Y=0。

则：66.67X-1.02Y-14.59=0 （1）
37.5X-1.02Y-0=0 （2）
解得：X=0.5（股），Y=18.39（元）
C0＝50X－Y＝50×0.5－18.39＝6.61元
（二）套期保值原理
套期保值比率，又称完全对冲头寸的对冲比率，即普通股股数与期权份数之比。
公式推导：
设股票目前的市场价格为S0，股价上行乘数为u，股价下行乘数为d，则股价上升后的价格为Su=S0u，股价下降后的价格为Sd=S0d，期权执行价格为W，则股价上行时期权到期日价值Cu，股价下行时期权到期日价值Cd。假设现在购进股票的数量为X股，售出1股该股票的看
涨期权，该看涨期权的现行价格为C0，同时按无风险利率借入资金，设定无风险利率为r，借款数额为Y。
未来股价上升时的现金净流量=XSu-Cu-（1+r）×Y=0 （1）
未来股价下降时的现金净流量=XSd-Cd-（1+r）×Y=0 （2）
根据（1）-（2），即有：
SuX-SdX=Cu-Cd，则X=  =  =

根据定义：套期保值比率H= 。
即：套期保值比率H= （3）
注意：假设前提是1份期权，则套期保值比率H=普通股股数X。
再根据公式（2），即有：
Y= （4）
另外，目前的现金净流量=XS0-C0-Y=0，则期权的现行价格C0=投资组合成本=购买股票支出-借款=XS0-C0=HS0-C0。 （5）
（三）风险中性原理
1．风险中性原理，是指假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都等于无风险利率。将期望值用无风险利率折现，即可求得期权的价格。
2．基本步骤：
（1）确定期权到期日价格Cu和Cd
（2）分别确定股价上升和下降的概率（或权数）
根据公式：期望报酬率=上行概率×上行时收益率+下行概率×下行时收益率
期望报酬率=上行概率×股价上升百分比+下行概率×股价下降百分比
根据概率计算期权到期日的期望值
（3）折现
期权价格＝
3．要点
（1）影响期权价格的因素主要是未来的股票价格的变化
（2）关键是确定上行概率和下行概率
4．公式推导
期望报酬率=上行概率×上行时收益率+下行概率×下行时收益率
假设公司不派发现金股利，则股价变动率等于股票投资的收益率，即有：
期望报酬率=上行概率×股价上升百分比+下行概率×股价下降百分比
=上行概率×股价上升百分比+（1-上行概率）×股价下降百分比
假设上行概率为W1，则：
r=W1×（u-1）+（1-W1）×（d-1） （1）
求得：W1= （2）
期权到期日价值的期望值 =W1×Cu+（1-W1）×Cd （3）
期权的价格C0= ÷（1+r） （4）
二、二叉树期权定价模型
（一）二叉树模型的假设
1．市场投资没有交易成本；
2．投资者都是价格的接受者；
3．允许完全使用卖空所得款项；
4．允许以无风险利率借入或贷出款项；
5．未来股票的价格将是两种可能值中的一个。
（二）单期二叉树定价模型
二叉树模型建立一个投资组合（1）买入一定数量的股票（2）卖出一定数量的看涨期权。
根据风险中性原理的有关公式，
期权的现值C0=[W1×Cu+（1-W1）×Cd]÷（1+r）
=[ ×Cu+（1- ）×Cd]÷（1+r）
= ×

（三）两期二叉树模型
见教材P325图。

Cu= × 
Cd= ×

C0= ×

P325例11－10
（四）多期二叉树模型
u=1+上升百分比=
d=1-下降百分比=1/u
其中：e=自然常数=2.7183
=标的资产连续复利收益率的标准差
t=以年表示的时间长度
四、布莱克－斯科尔斯期权定价模型
（一）布莱克—斯科尔斯期权定价模型假设
1.标的股票不发放股利；
2.交易成本和所得税税率为零；
3.短期无风险利率已知并保持不变；
4.任何证券购买者均能以短期无风险利率借得资金；
5.对市场中正常空头交易行为并无限制；
6.期权为欧式期权；
7.标的股价接近正态分布。
（二）计算公式
1.C0=S0N（d1）-X
=S0N（d1）- 
2.d1= 
3.d2=d1- 
其中：
C0—看涨期权的现行价格
S0—标的资产的现行价格
X—看涨期权的执行价格
PV（x）—看涨期权执行价格的现值
N（d）—标准正态分布随机变量值小于或等于d的概率
rc—连续复利的短期无风险年利率
e—2.7183
—连续复利计算的标的资产年收益率的标准差
t—以年计算的期权有效期
（三）影响因素
该模型有5个参数，即：标的资产的现行价格S0、看涨期权的执行价格X、连续复利的短期无风险年利率rc、以年计算的期权有效期t和连续复利计算的标的资产年收益率的标准差 。
P331第一段
（四）看跌期权估价
具有相同执行价格和到期日的欧式看跌期权和欧式看涨期权，购进股票、购进看跌期权，同时售出看涨期权，该策略产生无风险收益，符合买卖权平价：
标的资产现行价格+看跌期权价格-看涨期权价格=执行价格的现值。
已知等式中的任何3个量，即可求得第4个量。
举例：某公司股票看涨期权和看跌期权的执行价格均为55元，期权均为欧式期权，期限1年。目前该股票的价格是44元，看跌期权的价格为7元，看涨期权的价格为1元。在到期日该股票的价格将是58元或34元。
目前执行下列策略：支付44元购进股票，支付7元购进该股票的看跌期权，同时1元售出该股票的看涨期权。则目前的投资成本=44+7-1=50（元），假设无风险利率为10%。
（1）如果股票价格升至58元，则放弃看跌期权，售出股票得到58元，同时执行看涨期权，得到-3元=（55-58），到期日的现金流入量为55元。
（2）如果股票价格降至34元，则放弃看涨期权，售出股票得到34元，同时执行看跌期权，得到21元=（55-34），到期日的现金流入量为55元。
则：不论股票价格如何变动，该策略的目前投资成本的终值50（1+10%）=55（元），等于到期日期权的执行价格55元；或到期日期权的执行价格的现值等于目前的投资成本。
总之，不论股票价格如何变动，具有相同执行价格和到期日的欧式看跌期权和看涨期权，该策略的目前投资成本的终值等于到期日期权的执行价格；或到期日期权的执行价格的现值55/（1+10%）=50（元）等于目前的投资成本50元。
P332表11-13
P332例11-15
（五）派发股利的期权定价
（六）美式期权
P333
1.对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克—斯科尔斯期权定价模型估价；
2.对于派发股利的美式看跌期权，不能直接使用布莱克—斯科尔斯期权定价模型估价。
第三节 实物期权
常见的实物期权：扩张期权、时机选择期权和放弃期权。
一、扩张期权
指某个公司取得了一项选择权，是立即开发还是继续等待时机。如果立即开发有利，则扩大规模；如果立即开发不利的，则不扩大规模。
P334例11-16
1.假设第二期项目的决策必须在2003年底决定，即这是一项到期时间为3年的欧式看涨期权。
2.涉及到的几个参数：（1）目前标的资产的市场价格1384.54（2）期权的执行价格1502.63（3）期权的有效期3年（4）标的资产年收益率的标准差35％。

图11-1 正态分布曲线图
关于附表六P472正态分布下的累积概率[N（d）]的使用说明：
1.变量值在区间（-  ， ）之间与正态分布曲线围成的整个面积=1，而且被均值一分为二，即
在均值 两侧的面积各为0.5。如N（2）：“2”表示标准差的个数，N（2）表示其变量值在（-  ，  + ）之间与正态分布曲线围成的整个面积，等于0.5加上（ ，  + ）之间与正态分布曲线围成的面积之和，表示变量值小于其均值 与 标准差之和的概率。
2.附表中第1列和第1行的数值相加，构成自变量d的值，d表示标准差的个数。如求N（1.96），在附表第一列中到“1.9”，在第一行到“0.06”，两数相加，即为d=1.96，“1.9”所在行和“0.06”所在列交叉处的数“0.9750”，就是所求N（1.96）的近似值，即N（1.96）=0.9750。又如N（0.24），那么“0.2”这一行与“0.04”这一列交叉处的数“0.5948”就是所求，N（0.24）=0.5948，等等。
3.由图11-1可知，图中左右两块相对应部分的面积是相等的。
如N（-2），即（- ，  - ）之间与正态分布曲线围成的面积，等于（ +  ，+ ）之间与正态分布曲线围成的面积，而（  +  ，+ ）之间与正态分布曲线围成的面积正好等于1减去（-  ，  + ）与正态分布曲线围成的面积，即1- N（2）；即图中左边一块阴影的面积正是N（-d），而右边一块阴影部分的面积是1-N（d），两者相等。
于是，若求N（-2.46），因为N（2.46）=0.9931。所以：
N（-2.46）=1- N（2.46）=1-0.9931=0.0069
N（-0.02）=1-N（0.02）=1-0.5080=0.492
4.内插法的应用
通过N（0.97）=0.8340和N（0.98）=0.8365之间插值来计算N（0.9723）：
N（0.9723）=0.8340+ =0.8346
通过N（0.51）=0.6950和N（0.52）=0.6985之间插值来计算N（0.5149）:
N（0.5149）=0.6950+ =0.6967
N（-0.5149）=1-N（0.5149）=1-0.6967=0.3033
这就解决了标准正态分布的概率计算问题。
二、时机选择期权
1.如果一个项目在时间上不能延迟，只能立即投资或者永远放弃，那么它就是马上到期的看涨期权。项目的投资成本是期权执行价格，项目的未来现金流量的现值是期权标的资产的现行价格。如果该现值大于投资成本，看涨期权的收益就是项目的净现值。如果该现值小于投资成本，看涨期权不被执行，公司放弃该项投资。
2.如果一个项目在时间上可以延迟，那么它就是未到期的看涨期权。项目具有正的净现值，并不意味着立即执行总是最佳的，推后执行可能会更好。对于前景不明朗的项目，大多值得
观望。
P336例11-17
扩展思考：

上行期权价值＝1312.5-1000＝312.5万元
二叉树公式下行期权价值＝0
三、放弃期权
研究是继续经营还是清算，哪个更好，关键取决于哪个价值大。
P338例11-18

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