广东金融学院实验报告
课程名称：金融工程
实验编号
及实验名称
期权定价模型及数值方法综合实验(EXCEL)
系  别
应用数学系
姓  名
黄冬璇
学号
101613109
班  别
1016131
实验地点
实验日期
2013-06-05
实验时数
3
指导教师
张学奇
其他成员
黄清霞、马燕纯
成  绩
一、实验目的及要求
1.实验目的
（1）通过期权定价模型与数值方法综合实验，使学生加深对BSM期权模型的理解；
（2）熟练掌握运用Excel计算欧式期权价格实际应用方法；
（3）培养学生运用软件工具解决期权定价问题的应用和动手能力。
2.实验要求
实验以个人形式进行，要求每位实验人员按照实验指导书，在实验前做好实验原理复习工作，实验软件的熟悉工作。
实验报告要包括：实验原理、实验工具、实验程序与实验结论。实验内容要详实和规范，实验过程要完整和可验证，实验结果要准确。
二、实验环境及相关情况（包含使用软件、实验设备、主要仪器及材料等）
实验设备：实验中心和个人计算机
实验软件：Excel软件。
实验资料：期权定价模型及数值方法综合实验指导书。
三、实验内容、步骤及结果（包含简要的实验步骤流程）
（一）基于Excel的无收益资产的欧式期权定价实验
A.实验原理
1.参量与符号
（1）:标的资产的价格；
（2）：行权价格；
（3）：到期期限；
（4）：标的资产价格波动率；
（5）：连续复利的无风险利率；
2.无收益资产欧式期权定价公式
无收益欧式看涨期权的定价公式 
无收益资产欧式看跌期权的定价公式 
其中 ，
B.实验算例
算例：股票的价格为100，股票的波动率标准差为0.25，无风险利率为5.47%，期权的执行价格为100，存续期为0.25年，试计算该股票欧式期权的价格。
C.实验过程
1.实验算例的Excel编程与计算
在Excel中创建欧式期权表单模型步骤为
（1）输入.
将上面问题中的输入键入区域B4:B8.
（2）d1和 d2 的计算公式.
d1的计算公式为 。
在单元格B11中键入=(LN(B4/B7)+(B6+B5^2/2)*B8)/(B5*SQRT(B8))。
d2的计算公式为。
在单元格B12中键入=B11-B5*SQRT(B8)。
（3）标准正态分布变量的累积概率分布函数计算公式
在B13单元格中键入=NORMSDIST(B11)，再将单元格B13的内容复制到B14。 
（4）欧式看涨期权定价公式
布莱克-舒尔斯欧式看涨期权定价公式为：。
在单元格B15中键入=B4*B13-B7*EXP(-B6*B8)*B14。 
（5）-d1和-d2 的计算公式
在单元格A17中键入'-d1，在单元格A18 中键入'-d2。 “ '” 告诉Excel这不是公式，而是标题。
在单元格B17中键入=-B11，在单元格B18中键入=-B12。
（6）标准正态分布变量的累积概率分布函数计算公式。
在单元格B19中键入=NORMSDIST(B17)，再将单元格B19的内容复制到B20。
（7）欧式看跌期权定价公式
布莱克-舒尔斯欧式看涨期权定价公式为：
在单元格B21中入 =-B4*B19+B7*EXP(-B6*B8)*B20
D.实验结果
（二）基于Excel的期权定价二叉树方法实验
A.实验原理
1.二叉树模型结构
对于多时段二叉树模型，在时刻，证券价格有中可能，他们可用符号表示为，其中。应用多时段二叉树模型来表示证券价格变化的树型结构如下图所示。
2.二叉树模型中参数的确定
；；
3.无收益欧式期权二叉树模型定价公式
（1）对于无收益欧式看涨期权，节点的期权价值为
；，
最后一列节点的期权价值为
（2）对于无收益欧式看跌期权，节点的期权价值为
；，
最后一列节点的期权价值为
B.实验算例
算例：考虑一个不分红利5个月欧式看涨期权：股票价格为50，执行价格为50，无风险利率为10%，波动率为40。试构造二叉树模型，确定期权的价格。
C.实验过程
在Excel中创建欧式期权表单模型步骤为（将Excel求解过程和输出结果截图填写在下面）
（1）输入.
在EXCEL的单元格A4：A9中分别输入“标的资产”、“执行价格”、“波动率”、“到期日”、“无风险利率”和“红利”。其中将期限为5个月的欧式期权的到期日化为单位为年，即为5/12=0.416666667年 ；并且题目中的标的资产的不考虑红利的，所以红利等于0,所以根据题目给出的要求，在对应的单元格B4：B9中分别输入初始值。如下图：
图2-1  欧式看涨期权初始值赋值后的对话框1
（2）欧式看涨期权初始值赋值
假定使用10期的二叉树来计算标的资产的价值，接下来我们可以根据公式和来计算二叉树中的上行和下行的幅度，即u和d的值。同时再根据公式计算其风险中性概率。利用EXCEL软件来计算，我们可以先在单元格A14：A16分别输入u、d和p。并在对应的单元格中B14：B16中分别输入公式为“=EXP(B6*SQRT(B7/B12))”，“=1/B14”和“=(EXP(B8*B7/B12)-B15)/(B14-B15)”。得到的结果为u的值为1.085075596及d的值为0.921594775，p的值为0.50513928。计算过程和计算结果如下图：
图2-2  u、d和p的计算
图2-3  欧式看涨期权初始值赋值后的对话框2
（3）计算每个节点的股票价格
利用二叉树模型生成每个节点的股票价格。首先，将当前的股票价格输入到单元格D12中，在命令框中输入“=B4”.在单元格E11中，输入公式“=D12*$B$14”，其含义是股票市场初始价格乘以u，生成股票价格上升后的价格。同理，当股票下降的情况下，其股票价格应该为初始价格乘以d，在单元格E13中输入公式“=D12*$B$15”。结果如图：
图2-4  单步二叉树的结果
同样的在单元格F10、F12和 F14中分别输入公式“=E11*$B$14”、“=E11*$B$15”和“=E13*$B$15”。后面各列应该输入的公式以此类推，直至将10期所有可能的股票价格节点填满。得到的计算过程和结果如下图：
图2-5  整个二叉树的计算过程
图2-6  整个二叉树的计算结果
（4）计算每个节点上的期权价格
从上图中计算得出每个节点的股票价格，相对应的可以计算出每个节点的期权价格。在这里应运用逐期倒推的方法。
到期日，期权的价格等于股票价格和执行价格之间的差额与0的较大值，即最后一列节点的期权价值为 。
在图2-6所示的EXCEL表格中，选中单元格N3，输入EXCEL公式“=MAX(N2-$B$5,0)”用来显示与单元格N3相对应的欧式看涨期权的价格。类似，低于每一个节点，将其对应的期权价格显示在它下面的一个单元格中。在N列的其他单位格以此类推，向下填充，直至把每一个节点对应的期权价格填满。其过程如图所示：
图2-7  第10期的期权价格
接下来可以计算M列（第9期）的股票价格对应的期权价格了。又因为对于无收益的欧式看涨期权，节点（i,j）的期权价值为
；，
在单元格M4中的期权的价值依赖于单元格N3和单元格N5，所以单元格N3中认购期权的价格为“=EXP(-$B$8*$B$7/$B$12)*(N3*$B$16+N5*(1-$B$16))”，类似，在N列其他的股票价格对应的期权价格以此类推，其过程如下图所示：
图2-8  第9期的期权价格
以此规律填充每个节点对应的期权价格，直至填满整个表格，得到最初的欧式看涨期权的价格。计算结果如图：
图2-9  完整的二叉树期权定价模型的股票价格和期权价格的值
由上图可以知道，利用二叉树模型期权定价计算得到欧式看涨期权的理论价格为5.99元。
（三）基于Excel的期权定价的显性有限差分法实验
A.实验原理
BSM期权价格微分方程 
2.看跌期权定价的显性差分法
（1）BSM微分方程中偏导数的差分近似
；；
（2）差分方程
 
其中 
     
（3）边界条件
T时刻看跌期权的价值为 
下边界上期权价值为 
上边界上期权价值为 
（4）期权的价值
对于差分方程和边界条件
 
；
解出每个的期权值，然后再与每个格点的期权内在价值进行比较，判断是否提前执行，从而得到时刻每个格点的期权价格。
依此类推，可以计算出，当等于初始资产价格时，该格点对应的就是所求的期权价值。
B.实验算例
算例：已知股票价格为50，欧式看跌期权执行价格为50，到期日为5个月，无风险利率为10%，波动率标准差为0.4。试用有限差分法确定期权的价格。
C.实验过程
在Excel中创建欧式期权表单模型步骤为（将Excel求解过程和输出结果截图填写在下面）
（1）输入
在EXCEL的单元格A4：A9中分别输入“期权种类”、“标的资产价格”、“执行价格”、 “期限”、“波动率”和“无风险利率”。其中将期限为5个月的欧式期权的到期日化为单位为年，即为5/12=0.416667年 ；所以根据题目给出的要求，在对应的单元格B4：B9中分别输入初始值。如下图：
图2-10  欧式看跌期权的初始赋值1
（2）有限差分法的初始赋值
首先，从0时刻开始到到期日T之间的时间分为有限个等间隔的小时间段，设。保留小数点后两位使得。其中N=10，所以有11个时点。其次，把资产价格的变化从0到资产的最大值也分成M个等间隔的小价格段。又因为该标的资产为欧式看跌期权，所以最大值Smax=50，
设M=10，所以有M+1=11个资产价格。其。
因为有限差分法是根据布莱克—舒尔斯—默顿期权定价模型（BSM模型）的原理来实现的。而BSM期权定价模型的最基本的基础假设是标准布朗运动。                  ①
二叉树公式
所以，我们可以进行变量置换，即令Z=lnS，使得      ②
由几何布朗运动的性质可知                         ③
根据其性质可以得知期权价格S的对数也服从布朗运动，在任意时间长度内的变化值都服从均值为、方差为的正态分布。
由连续复利的知识可以得知，实际上就是期权价格在期间的连续复利。期权价格百分比收益率的漂移率，均值较小，当波动率越大，期望就越小。所以在这里，我们可以看做为
为了方便操作，将取值为使得等于0.1。输出数据如下图所示：
图2-11  欧式看跌期权的初始赋值2
（3）用显性差分法计算期权价值
根据已知的结果构造了一个共有11*11个格点的图，时间、资产价格和期权价值都仅仅在相应的格点出离散计算。点（i,j）相对应时刻和资产价格，表示处的期权价值。
在B17：N58建立一个表格，如图所示，并在表格中的单元格B18：B58中输出等间隔的置换变量的值，相应在C17：C58里输出相等价格间隔的，且。在D17：N17输出等间隔的时间j。如下图所示：
图2-12
因为该标的资产是欧式看跌期权，其行权日为它的到期日。所以根据有限差分方法的边界条件：
T时刻的看跌期权的价值为 其中，。
S=0时，期权价值为
股票价格趋于无穷时，看跌期权的价值趋于0。
当资产价格时，在到期日，期权的支付是X，将它折现到时间t，得到：，综上将通过EXCEL来画出利用有限差分法的网格节点的记号来表示期权价格。
根据上面的边界条件，可以得知,其中。所以在EXCEL的单元格D18中输入公式“=MAX(($B$6-$C18)*EXP(-$B$9*($B$8-D17*$B$13)),0)”；
图2-13  期权价格的边界计算过程
在单元格E18中输入公式“=MAX(($B$6-$C18)*EXP(-$B$9*($B$8-E17*$B$13)),0)”；以此类推到N18的单元格里。计算结果如图：
图2-14  期权价格的边界计算结果
而在行权日，看跌期权的价值为。所以对于在N列的期权价格，单元格N19的期权价格的输入公式为“=MAX($B$6-$C19,0)”。并在excel将选中单元格N19并向下拉，可以得到N20：N57的结果。计算过程如下：
图2-15  到期日的期权价格计算过程
结果如下：
图2-16  到期日的期权价格计算结果
显性差分的差分方程   
其中 
     
根据上面公式在单元格C8:N11，计算aj*,bj*,cj* 的值。在单元格D9中即a0的值的单元格中输入公式“=(1/(1+$B$9*$B$13))*((-1*$B$9*D17*$B$13+(D17^2)*($B$7^2)*$B$13)/2)”；同样D10中即b0的值的单元格中输入公式“=(1/(1+$B$9*$B$13))*(1-($B$7^2)*(D17^2)*$B$13)”； D11中即c0的值的单元格中输入公式“=(1/(1+$B$9*$B$13))*(($B$9*$B$13*D17)+($B$7^2)*(D17^2)*$B$13)/2”。同理可以得到整个单元格D9：N11里的值。如下图：
图2-17
接下来，可以根据上表和公式的差分方程推算其他格点位置（j,i）的期权价格。又因为显性有限差分法是从格点图外部推知内部格点期权价值的方法。所以，我们先在单元格M19中即网点为（9,1），利用公式为：来求值。所以网格点的excel公式为：“=$N$9*N18+$N$10*N19+$N$11*N20”其中N9，N10，N11分别为。在其他网格点中依理类推，可以得到的整个格点图如下：
图2-18  显性差分法的欧式看跌期权价格格点
图2-19  欧式看跌期权的价格判断结果
由上图可以看出来，利用显性有限差分法来定价欧式看跌期权的价格是2.52元。

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