全国计算机等级考试——⼆级公共基础知识辅导讲义全国计算机等级考试——⼆级公共基础知识辅导讲义
第⼀章数据结构与算法
1.1算法
1、算法是指解题⽅案的准确⽽完整的描述。换句话说，算法是对特定问题求解步骤的⼀种描
述。
：算法不等于程序，也不等于计算⽅法。程序的编制不可能优于算法的设计[这是因为：在编写
程序时要受到计算机系统运⾏环境的限制，程序通常还要考虑很多与⽅法和分析⽆关的细节问
题。]。
2、算法的基本特征
（1）可⾏性。针对实际问题⽽设计的算法，执⾏后能够得到满意的结果。
（2）确定性。每⼀条指令的含义明确，⽆⼆义性。并且在任何条件下，算法只有唯⼀的⼀条执
⾏路径，即相同的输⼊只能得出相同的输出。
（3）有穷性。算法必须在有限的时间内完成。有两重含义，⼀是算法中的操作步骤为有限个，
⼆是每个步骤都能在有限时间内完成。
（4）拥有⾜够的情报。算法中各种运算总是要施加到各个运算对象上，⽽这些运算对象⼜可能
具有某种初始状态，这就是算法执⾏的起点或依据。因此，⼀个算法执⾏的结果总是与输⼊的
初始数据有关，不同的输⼊将会有不同的结果输出。当输⼊不够或输⼊错误时，算法将⽆法执
⾏或执⾏有错。⼀般说来，当算法拥有⾜够的情报时，此算法才是有效的；⽽当提供的情报不
够时，算法可能⽆效。
：综上所述，所谓算法，是⼀组严谨地定义运算顺序的规则，并且每⼀个规则都是有效的，且
是明确的，此顺序将在有限的次数下终⽌。
3、算法复杂度主要包括时间复杂度和空间复杂度。
（1）算法时间复杂度是指执⾏算法所需要的计算⼯作量，可以⽤执⾏算法的过程中所需基本运
二叉树的基本性质算的执⾏次数来度量。
（2）算法空间复杂度是指执⾏这个算法所需要的内存空间。
1.2数据结构的基本概念
1、数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。
2、数据结构主要研究和讨论以下三个⽅⾯的问题：
（1）数据集合中各数据元素之间所固有的逻辑关系，即数据的逻辑结构。
数据的逻辑结构包含：1）表⽰数据元素的信息；2）表⽰各数据元素之间的前后件关系[前后件
关系：⼀般情况下，在具有相同特征的数据元素集合中，各个数据元素之间存在某种关系（即
联系），这种关系反映了该集合中的数据元素所固有的⼀种结构。在数据处理领域中，通常把
数据元素之间这种固有的关系简单地⽤前后件关系（即直接前驱与直接后继关系）来描述。]。
（2）在对数据进⾏处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构。
数据的存储结构有顺序、链接、索引等。
1）顺序存储。它是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置相邻的存储单元⾥，结点间的逻辑关系
由存储单元的邻接关系来体现。由此得到的存储表⽰称为顺序存储结构。
2）链接存储。它不要求逻辑上相邻的结点在物理位置上亦相邻，结点间的逻辑关系是由附加的指针字段表⽰的。由此得到的存储表⽰称为链式存储结构。
3）索引存储：除建⽴存储结点信息外，还建⽴附加的索引表来标识结点的地址。
：数据的逻辑结构反映数据元素之间的逻辑关系，数据的存储结构（也称数据的物理结构）是数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式。同⼀种逻辑结构的数据可以采⽤不同的存储结构，但影响数据处理效率。
（3）对各种数据结构进⾏的运算。
3、数据结构的图形表⽰
⼀个数据结构除了⽤⼆元关系表⽰外，还可以直观地⽤图形表⽰。在数据结构的图形表⽰中，对于数据集合D中的每⼀个数据元素⽤中间标有元素值的⽅框表⽰，⼀般称之为数据结点，并简称为结点；为了进⼀步表⽰各数据元素之间的前后件关系，对于关系R中的每⼀个⼆元组，⽤⼀条有向线段从前件结点指向后件结点。
4、数据结构分为两⼤类型：线性结构和⾮线性结构。
（1）线性结构（⾮空的数据结构）条件：1）有且只有⼀个根结点[在数据结构中，没有前件的结点称为根结点。]；2）每⼀个结点最多有⼀个前件，也最多有⼀个后件。
：常见的线性结构有线性表、栈、队列和线性链表等。
（2）⾮线性结构：不满⾜线性结构条件的数据结构。
：常见的⾮线性结构有树、⼆叉树和图等。
1.3线性表及其顺序存储结构
1、线性表由⼀组数据元素构成，数据元素的位置只取决于⾃⼰的序号，元素之间的相对位置是线性的。线性表是由n(n≥0)个数据元素组成的⼀个有限序列，表中的每⼀个数据元素，除了第⼀个外，有且
只有⼀个前件，除了最后⼀个外，有且只有⼀个后件。线性表中数据元素的个数称为线性表的长度。线性表可以为空表。
：线性表是⼀种存储结构，它的存储⽅式：顺序和链式。
2、线性表的顺序存储结构具有两个基本特点：（1）线性表中所有元素所占的存储空间是连续的；（2）线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。
：由此可以看出，在线性表的顺序存储结构中，其前后件两个元素在存储空间中是紧邻的，且前件元素⼀定存储在后件元素的前⾯，可以通过计算机直接确定第i个结点的存储地址。
3、顺序表的插⼊、删除运算
（1）顺序表的插⼊运算：在⼀般情况下，要在第i（1≤i≤n）个元素之前插⼊⼀个新元素时，⾸先要从最后⼀个（即第n个）元素开始，直到第i个元素之间共n-i+1个元素依次向后移动⼀个位置，移动结束后，第i个位置就被空出，然后将新元素插⼊到第i项。插⼊结束后，线性表的长度就增加了1。
：顺性表的插⼊运算时需要移动元素，在等概率情况下，平均需要移动n/2个元素。
（2）顺序表的删除运算：在⼀般情况下，要删除第i（1≤i≤n）个元素时，则要从第i+1个元素开始，直到第n个元素之间共n-i个元素依次向前移动⼀个位置。删除结束后，线性表的长度就减⼩了1。
：进⾏顺性表的删除运算时也需要移动元素，在等概率情况下，平均需要移动（n-1）/2个元素。插⼊、删除运算不⽅便。
1.4栈和队列
1、栈及其基本运算
栈是限定在⼀端进⾏插⼊与删除运算的线性表。
在栈中，允许插⼊与删除的⼀端称为栈顶，不允许插⼊与删除的另⼀端称为栈底。栈顶元素总是最后被插⼊的元素，栈底元素总是最先被插⼊的元素。即栈是按照“先进后出”或“后进先出”的原则组织数据的。[第8题]
栈具有记忆作⽤。
栈的基本运算：1）插⼊元素称为⼊栈运算；2）删除元素称为退栈运算；3）读栈顶元素是将栈顶元素赋给⼀个指定的变量，此时指针⽆变化。
栈的存储⽅式和线性表类似，也有两种，即顺序栈和链式栈。
2、队列及其基本运算
队列是指允许在⼀端（队尾）进⼊插⼊，⽽在另⼀端（队头）进⾏删除的线性表。尾指针（Rear）指向队尾元素，头指针（front）指向排头元素的前⼀个位置（队头）。
队列是“先进先出”或“后进后出”的线性表。
队列运算包括：1）⼊队运算：从队尾插⼊⼀个元素；2）退队运算：从队头删除⼀个元素。
循环队列及其运算：所谓循环队列，就是将队列存储空间的最后⼀个位置绕到第⼀个位置，形成逻辑上的环状空间，供队列循环使⽤。在循环队列中，⽤队尾指针rear指向队列中的队尾元素，⽤排头指针front指向排头元素的前⼀个位置，因此，从头指针front指向的后⼀个位置直到队尾指针rear指向的位置之间，所有的元素均为队列中的元素。[第24套]
1.5线性链表
1、线性表顺序存储的缺点：（1）插⼊或删除的运算效率很低。在顺序存储的线性表中，插⼊或删除数据元素时需要移动⼤量的数据元素；（2）线性表的顺序存储结构下，线性表的存储空间不便于扩充；（3）线性表的顺序存储结构不便于对存储空间的动态分配。
2、线性链表：线性表的链式存储结构称为线性链表，是⼀种物理存储单元上⾮连续、⾮顺序的存储结构，数据元素的逻辑顺序是通过链表中的指针链接来实现的。因此，在链式存储⽅式中，每个结点由两
部分组成：⼀部分⽤于存放数据元素的值，称为数据域；另⼀部分⽤于存放指针，称为指针域，⽤于指向该结点的前⼀个或后⼀个结点（即前件或后件），如下图所⽰：
线性链表分为单链表、双向链表和循环链表三种类型。
在单链表中，每⼀个结点只有⼀个指针域，由这个指针只能到其后件结点，⽽不能到其前件结点。因此，在某些应⽤中，对于线性链表中的每个结点设置两个指针，⼀个称为左指针，指向其前件结点；另⼀个称为右指针，指向其后件结点，这种链表称为双向链表，如下图所⽰：
3、线性链表的基本运算
（1）在线性链表中包含指定元素的结点之前插⼊⼀个新元素。
：在线性链表中插⼊元素时，不需要移动数据元素，只需要修改相关结点指针即可，也不会出现“上溢[当为⼀个线性表分配顺序存储结构后，如果出现线性表的存储空间已满，但还需要插⼊新的元素时，就会发⽣“上溢”现象。]”现象。
（2）在线性链表中删除包含指定元素的结点。
：在线性链表中删除元素时，也不需要移动数据元素，只需要修改相关结点指针即可。
（3）将两个线性链表按要求合并成⼀个线性链表。
（4）将⼀个线性链表按要求进⾏分解。
（5）逆转线性链表。
（6）复制线性链表。
（7）线性链表的排序。
（8）线性链表的查。
：线性链表不能随机存取[在链表中，即使知道被访问结点的序号i，也不能像顺序表中那样直接按序号i访问结点，⽽只能从链表的头指针出发，顺着链域逐个结点往下搜索，直⾄搜索到第i个结点为⽌。因此，链表不是随机存储结构。]。
4、循环链表及其基本运算
在线性链表中，其插⼊与删除的运算虽然⽐较⽅便，但还存在⼀个问题，在运算过程中对于空表和对第⼀个结点的处理必须单独考虑，使空表与⾮空表的运算不统⼀。为了克服线性链表的这个缺点，可以采⽤另⼀种链接⽅式，即循环链表。
与前⾯所讨论的线性链表相⽐，循环链表具有以下两个特点：1）在链表中增加了⼀个表头结点，其数据域为任意或者根据需要来设置，指针域指向线性表的第⼀个元素的结点，⽽循环链表的头指针指向表头结点；2）循环链表中最后⼀个结点的指针域不是空，⽽是指向表头结点。即在循环链表中，所有结点的指针构成了⼀个环状链。
下图a是⼀个⾮空的循环链表，图b是⼀个空的循环链表：
循环链表的优点主要体现在两个⽅⾯：⼀是在循环链表中，只要指出表中任何⼀个结点的位置，就可以从它出发访问到表中其他所有的结点，⽽线性单链表做不到这⼀点；⼆是由于在循环链表中设置了⼀个表头结点，在任何情况下，循环链表中⾄少有⼀个结点存在，从⽽使空表与⾮空表的运算统⼀。
：循环链表是在单链表的基础上增加了⼀个表头结点，其插⼊和删除运算与单链表相同。但它可以从任⼀结点出发来访问表中其他所有结点，并实现空表与⾮空表的运算的统⼀。
1.6树与⼆叉树
1、树的基本概念
树是⼀种简单的⾮线性结构。在树这种数据结构中，所有数据元素之间的关系具有明显的层次特性。
在树结构中，每⼀个结点只有⼀个前件，称为⽗结点。没有前件的结点只有⼀个，称为树的根结点，简称树的根。每⼀个结点可以有多个后件，称为该结点的⼦结点。没有后件的结点称为叶⼦结点。
在树结构中，⼀个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度，所有结点中最⼤的度称为树的度。树的最⼤层次称为树的深度。
2、⼆叉树及其基本性质
（1）什么是⼆叉树
⼆叉树是⼀种很有⽤的⾮线性结构，它具有以下两个特点：1）⾮空⼆叉树只有⼀个根结点；2）每⼀个结点最多有两棵⼦树，且分别称为该结点的左⼦树与右⼦树。
：根据⼆叉树的概念可知，⼆叉树结点的度可以为0（叶结点）、1（只有⼀棵⼦树）或2（有2棵⼦树）。
（2）⼆叉树的基本性质
性质1在⼆叉树的第k层上，最多有个结点。
性质2深度为m的⼆叉树最多有个个结点。
性质3在任意⼀棵⼆叉树中，度数为0的结点（即叶⼦结点）总⽐度为2的结点多⼀个。[第4题，第23题]性质4具有n个结点的⼆叉树，其深度⾄少为，其中表⽰取的整数部分。
3、满⼆叉树与完全⼆叉树
满⼆叉树：除最后⼀层外，每⼀层上的所有结点都有两个⼦结点。
完全⼆叉树：除最后⼀层外，每⼀层上的结点数均达到最⼤值；在最后⼀层上只缺少右边的若⼲结点。
：根据完全⼆叉树的定义可得出：度为1的结点的个数为0或1。[第19题]
下图a表⽰的是满⼆叉树，下图b表⽰的是完全⼆叉树：
完全⼆叉树还具有如下两个特性：
性质5具有n个结点的完全⼆叉树深度为。
性质6设完全⼆叉树共有n个结点，如果从根结点开始，按层序（每⼀层从左到右）⽤⾃然数1，2，…，n给结点进⾏编号，则对于编号为k（k=1，2，…，n）的结点有以下结论：
①若k=1，则该结点为根结点，它没有⽗结点；若k>1，则该结点的⽗结点的编号为INT(k/2)。
②若2k≤n，则编号为k的左⼦结点编号为2k；否则该结点⽆左⼦结点（显然也没有右⼦结点）。
③若2k+1≤n，则编号为k的右⼦结点编号为2k+1；否则该结点⽆右⼦结点。
4、⼆叉树的存储结构
在计算机中，⼆叉树通常采⽤链式存储结构。
与线性链表类似，⽤于存储⼆叉树中各元素的存储结点也由两部分组成：数据域和指针域。但在⼆叉树中，由于每⼀个元素可以有两个后件（即两个⼦结点），因此，⽤于存储⼆叉树的存储结点的指针域有两个：⼀个⽤于指向该结点的左⼦结点的存储地址，称为左指针域；另⼀个⽤于指向该结点的右⼦结点的存储地址，称为右指针域。
：⼀般⼆叉树通常采⽤链式存储结构，对于满⼆叉树与完全⼆叉树来说，可以按层次进⾏顺序存储[这样，不仅节省了存储空间，⼜能⽅便地确定每⼀个结点的⽗结点与左右⼦结点的位置，但顺序存储结构对于⼀般的⼆叉树不适⽤。]。
5、⼆叉树的遍历（所谓的前中后指的是，⽗结点访问的顺序）
⼆叉树的遍历是指不重复地访问⼆叉树中的所有结点。⼆叉树的遍历可以分为以下三种：
（1）前序遍历（DLR）：若⼆叉树为空，则结束返回。否则：⾸先访问根结点，然后遍历左⼦树，最后遍历右⼦树；并且，在遍历左右⼦树时，仍然先访问根结点，然后遍历左⼦树，最后遍历右⼦树。（从上往下）
（2）中序遍历（LDR）：若⼆叉树为空，则结束返回。否则：⾸先遍历左⼦树，然后访问根结点，最后遍历右⼦树；并且，在遍历左、右⼦树时，仍然先遍历左⼦树，然后访问根结点，最后遍历右⼦树。
（3）后序遍历（LRD）：若⼆叉树为空，则结束返回。否则：⾸先遍历左⼦树，然后遍历右⼦树，最后访问根结点，并且，在遍历左、右⼦树时，仍然先遍历左⼦树，然后遍历右⼦树，最后访问根结点。
1.7查技术
查：根据给定的某个值，在查表中确定⼀个其关键字等于给定值的数据元素。

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