C语⾔——判断⼀个数是否为质数素数
定义：约数只有1和本⾝的整数称为质数，或称素数。
计算机或者相关专业，基本上⼤⼀新⽣开始学编程都会接触的⼀个问题就是判断质数，下⾯分享⼏个判断⽅法，从普通到⾼效。
1）直观判断法
最直观的⽅法，根据定义，因为质数除了1和本⾝之外没有其他约数，所以判断n是否为质数，根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的约数即可。C++代码如下：
bool isPrime_1( int num )
{
int tmp =num- 1;
for(int i= 2;i <=tmp; i++)
if(num %i== 0)
return 0 ;
return 1 ;
}
2)直观判断法改进
上述判断⽅法，明显存在效率极低的问题。对于每个数n，其实并不需要从2判断到n-1，我们知道，⼀个数若可以进⾏因数分解，那么分解时得到的两个数⼀定是⼀个⼩于等于sqrt(n)，⼀个⼤于等于sqrt(n)，据此，上述代码中并不需要遍历到n-1，遍历到sqrt(n)即可，因为若sqrt(n)左侧不到约数，那么右侧也⼀定不到约数。
C++代码如下：
1. bool isPrime_2( int num )
2. {
3.      int tmp =sqrt( num);
4.      for(int i= 2;i <=tmp; i++)c++判断素数
5.        if(num %i== 0)
6.          return 0 ;
7.      return 1 ;
8. }
3）另⼀种⽅法
⽅法（2）应该是最常见的判断算法了，时间复杂度O(sqrt(n))，速度上⽐⽅法（1）的O(n)快得多。最近在⽹上偶然看到另⼀种更⾼效的⽅法，暂且称为⽅法（3）吧，由于不到原始的出处，这⾥就不贴出链接了，如果有原创者看到，烦请联系我，必定补上版权引⽤。下⾯讲⼀下这种更快速的判断⽅法；
⾸先看⼀个关于质数分布的规律：⼤于等于5的质数⼀定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；
证明：令x≥1，将⼤于等于5的⾃然数表⽰如下：······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······
可以看到，不在6的倍数两侧，即6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们⼀定不是素数，再除去6x本⾝，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这⾥有个题外话，关于孪⽣素数，有兴趣的道友可以再另⾏了解⼀下，由于与我们主题⽆关，暂且跳过。**这⾥要注意的⼀点是，在6的倍数相邻两侧并不是⼀定就是质数**。
此时判断质数可以6个为单元快进，即将⽅法（2）循环中i++步长加⼤为6，加快判断速度，原因是，假如要判定的数为n，则n必定是6x-1或6x+1的形式，对于循环中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，则n⾄少得是⼀个偶数，但是6x-1或6x+1的形式明显是⼀个奇数，故不成⽴；另外，如果n能被6i+3整除，则n⾄少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成⽴。综上，循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况，即循环的步长可以定为6，每次判断循环变量k和k+2的情况即可，理论上讲整体速度应该会是⽅法（2）的3倍。代码如下： ``` bool isPrime_3( int num ) { //两个较⼩数另外处理 if(num ==2|| num==3 ) return 1 ; //不在6的倍数两侧的⼀定不是质数 if(num %6!= 1&&num %6!= 5) return 0 ; int tmp =sqrt( num); //在6的倍数两侧的也可能不是质数 for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 ) if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 ) return 0 ; //排除所有，剩余的是质数 return 1 ; } ``` > 这边为什么是5开始取？为什么不是7？这边还有个逻辑上的取舍从5、7开始的区别在于i <= sqrt(num)..如果是5的话，判断条件为25；如果是7的话，判断的条件就为49。⽽仔细观察49内的所有质数，发现25之前的质数都是6k左右的数(6k-1,6k+1)，⽽25以后，就不定都有了。如26则不为质数。
所以如果从5开始的话，那么25以内的数都不会进⼊for循环，经过`if(num %6!= 1&&num %6!= 5)`的筛选后，就都是素数了。⽽如果是从7开始，那么25-49之内的数不符合条件却不会进⼊for循环，所以26缺少这个for的循环判断后就被误判为素数了。 ==>以我浅薄的数学见识理解，25以内素数规律的巧合性使得这些数不需要进⼊for循环判断，所以相⽐于从7开始的错误，5开始是正确的
算法性能测试：
编写测试代码，使⽤较多数据测试⽐较⼏种⽅法的判断效率，数据量40w，代码如下：
#include <iostream>
#include <string>
#include <ctime>
#include <vector>
using namespace std;
bool isPrime_1( int num );
bool isPrime_2( int num );
bool isPrime_3( int num );
int main()
{
int test_num =400000;
int tstart ,tstop; //分别记录起始和结束时间
//测试第⼀个判断质数函数
tstart=clock ();
for(int i= 1;i <=test_num; i++)
isPrime_1(i );
tstop=clock ();
cout<<"⽅法(1)时间(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;//ms为单位
//测试第⼆个判断质数函数
tstart=clock ();
for(int i= 1;i <=test_num; i++)
isPrime_2(i );
tstop=clock ();
cout<<"⽅法(2)时间(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;
//测试第三个判断质数函数
tstart=clock ();
for(int i= 1;i <=test_num; i++)
isPrime_3(i );
tstop=clock ();
cout<<"⽅法(3)时间(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;
cout<<endl ;
system("pause" );
return 0 ;
}
运⾏结果如下；
可以看出，判断到40w，效率上⽅法（1）明显要差得多，⽅法（2）和⽅法（3）在这种测试数量下时间相差2倍多
单独对⽐⽅法（2）和（3），数据量加到1000w，结果如下：
可以看出，⽅法（2）和⽅法（3）在这种测试数量下时间相差依然是2倍多，不过已经是很不错的提升。
对了，附上运⾏环境，CPU-i5-3210，内存4G，win7，vs2012。

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