我们曾经指出为了便于二进制数和十进制数的转换，也为了在书写时更加简便易读，二进制数经常要转换成8进制数和16进制数。这里我们考查2进制数和8进制数之间的转换关系。
设有一个9位二进制数（k8k7k6k5k4k3k2k1k0）2，根据数制的定义，我们知道：
（k8k7k6k5k4k3k2k1k0）2＝k8×28＋k7×27＋k6×26＋k5×25＋k4×24＋k3×23＋k2×22＋k1×21＋k0×20                                                    (式2-16)
式2－16可以进一步写成：
k8×28＋k7×27＋k6×26＋k5×25＋k4×24＋k3×23＋k2×22＋k1×21＋k0×20
＝（k8×22＋k7×21＋k6×20）×26＋（k5×22＋k4×21＋k3×20）×23＋k2×22＋k1×21＋k0×20
＝（k8×22＋k7×21＋k6×20）×82＋（k5×22＋k4×21＋k3×20）×81＋（k2×22＋k1×21＋k0×20）×80                                            (式2-17)
上面的式子中，k8×22＋k7×21＋k6×20相当于(k8 k7 k6)2，假定其等于十进制数h2；k5×22＋k4×21＋k3×20相当于(k5 k4 k3)2，假定其等于十进制数h1；k2×22＋k1×21＋k0×20相当于(k2 k1 k0)2，假定其等于十进制数h0。则式2－17可以改写为：
h2×82＋h1×81＋h0×80                                (式2-18)
由于h2 、h1、 h0是三位二进制数的值，因此，其值的范围在0～7之间。根据数制的定义，我们惊奇地发现式2－18相当于（h2 h1 h0）8。这就是说：
（k8k7k6k5k4k3k2k1k0）2＝（h二进制与十六进制之间的转换2 h1 h0）8                        (式2-19)
这里，h2＝(k8k7k6)2；h1＝(k5k4k3)2；h0＝(k2 k1 k0)2。
这就是说，我们只要把一个九位的二进数从低位开始三位一组，分成三组，将这三组二进制数分别转换成10进制数，所得的三个数就是该二进制数所对应的8进制数的码。这种关系可以一直往高位推导，即不管二进制数有多少位我们都可以用这种方法把它转换成一个8进制数。
例2－6：将二进制数（10111001010）2转换为8进制数。
解：将二进制数三位一组分组，计算每组的值如下：
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
2
7
1
2
则：（10111001010）2 ＝（2712）8
需要注意的是，整数的分组是从最低位开始，向最高位延伸。如果最高位的组不足三位，则在前面补0。另外，这种转换同样适用于小数的转换。小数的分组，是从最高小数位开始，向低位延伸。如果最低位的组不足3位，在后面补0。
例2－7：将二进制数（10111001010.10101）2转换为8进制数。
解：将二进制数三位一组分组，计算每组的值如下：
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
。
1
0
1
0
1
0
2
7
1
2
。
5
2
则：（10111001010.10101）2 ＝（2712.52）8
仿照2进制转8进制数的推导方法，我们不难得到二进制数与16进制数的转换方法（有关演算留作习题，这里从略）。具体来说就是，将二进制数的整数和小数部分每四位分成一组。整数部分从最低位向最高位顺序分组，如果最高位组不够4位，就在前面补0；小数部分从最高位向最低位顺序分组，如果最低位组不够4位，在后面补0。求出每一组4位二进制数的十进制值（在0～15之间），然后用16进制符号表示，就得到了相应的16进制数。
例2－8：将二进制数（10111001010.10101）2转换为16进制数。
解：将上述二进制数四位一组分组，计算每组的值如下：
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
。
1
0
1
0
1
0
0
0
5
12
10
。
10
8
则：（10111001010.10101）2 ＝（5CA.A8）16
上面将二进制数转换为8进制数和16进制数的规则，反过来也可以用来将8进制和16进制数转
换为2进制数。请看下面的例子。
例2－9：将8进制数（567.72）8转换为2进制数。
解：将上述八进制数的每一位分解成一个3位二进制数，最后得到就是该8进制数对应的二进制数。具体计算如下：
5
6
7
.
7
2
1
0
1
1
1
0
1
1
1
.
1
1
1
0
1
0
则：（567.72）8＝（101110111.111010）2
例2－10：将16进制数（9F.B6）16转换为2进制数。
解：将上述16进制数的每一位分解成一个4位二进制数，最后得到就是该16进制数对应的二进制数。具体计算如下：
9
F
.
B
6
1
0
0
1
1
1
1
1
.
1
0
1
1
0
1
1
0
则：（9F.B6）16＝（10011111.1011011）2
现在，作为练习，请检验例2－1到例2－5中同一个十进制数的2进制与8进制、16进制之间的对应关系是否符合上面的转换规律。

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