5-8-1.进制的计算
教学目标
1.了解进制；
2.会将十进制数转换成多进制；
3.会将多进制转换成十进制；
4.会多进制的混合计算；
5.能够判断进制.
知识点拨
一、数的进制
1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n ，我们有n 0=1。3.k 进制：
一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2， ，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ， ．如二进位制的计数单位是02，12，22， ，八进位制的计数单位是08，18，28， ．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
1110110n n n n k n n a a a a a k a k
a k a ---=⨯+⨯++⨯+  （）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++ ；
二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++ ；
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数
如：8352（），21010（），123145（），分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
5.k 进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：
一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上
按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．
如右图所示:
十进制二进制
十六进制
八进制
例题精讲
模块一、十进制化成多进制
【例1】把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。
【考点】十进制化成多进制【难度】3星【题型】解答
【解析】
【解析】一定要强调两点（1）商到0为止，（2）自下而上的顺序写出来102(9865)(10011010001001)=105(9865)(303430)=108
(9865)(23211)=【答案】102(9865)(10011010001001)=,105(9865)(303430)=,108
(9865)(23211)=【巩固】852567(((===  　）  　）  　）；
【考点】十进制化成多进制【难度】3星【题型】解答
【解析】【解析】本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）））；
【答案】852
567(1067(4232(1000110111===）））模块二、多进制转化成十进制
【例2】将二进制数(11010.11)2化为十进制数为多少？
【考点】多进制转化成十进制【难度】3星【题型】解答
【解析】
【解析】根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)2=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。
【答案】26.75
【例3】同学们请将258(11010101),(4203),(7236)化为十进制数，看谁算的又快又准。
【考点】多进制转化成十进制【难度】3星【题型】解答
【解析】76543210
2(11010101)1212021202120212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯128641641=++++213
=32105(4203)45250535=⨯+⨯+⨯+⨯500503553
=++=32108(7236)78283868=⨯+⨯+⨯+⨯3584128246=+++3742
=【答案】213,553,3742
模块三、多进制转化成多进制
【例4】二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
【考点】多进制转化成多进制【难度】4星【题型】解答
【解析】【解析】根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表：八进制数
01234567二进制数
000001010011100101110111从后往前取三合一进行求解，可以得知()210101011110011010101101()8
25363255=【答案】()8
25363255【例5】将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
【考点】多进制转化成多进制【难度】4星【题型】解答
【解析】
【解析】在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A 代表10、B 代表11、C 代表12、D 代表13……。根据取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E 9.B 。
【答案】E 9.B
【例6】某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第1位数字是几?
【考点】多进制转化成多进制【难度】4星【题型】解答
【解析】
【解析】由于32=9，所以由三进制化为9进制需要取二合一。从后两个两个的取，取至最前边为12，用位值原理将其化为1×31+2×30=5，所以化为9进制数后第一位为5.
【答案】5模块四、多进制混合计算
【例7】①222(101)(1011)(11011)⨯-=________；
②2222(11000111(10101(11(-÷=）））  　）；
③88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；
【考点】多进制混合计算【难度】4星【题型】填空
【解析】①对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制：
2221010101010(101)(1011)(11011)(5)(11)(27)(28)(11100)⨯-=⨯-==；
②可转化成十进制来计算：
222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））；
如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，
只是每次借位都是2，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））；
③十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方
法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ．
原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]
=-+-+8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；
【答案】(1)、10(11100)，（2）、2(11000000），
（3）、8(13121)
【巩固】①在八进制中，1234456322--=________；
②在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．
【考点】多进制混合计算【难度】4星【题型】填空
【解析】①原式1234(456322)12341000234=-+=-=；
②原式14438(31235766)(712011770)1443810000200004438=++-+=+-=．
【答案】（1）、234，（2）、4438
【例8】计算4710(3021)(605)()+=      　；
【解析】
【解析】本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：3247101010
3021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(【答案】10
(500)模块五、多进制的判断
【例9】若(1030)140n =，则n =________．
【考点】多进制的判断【难度】5星【题型】填空
【解析】【解析】若(1030)140n =，则33140n n +=，经试验可得5n =．
【答案】5
【例10】在几进制中有413100⨯=？
【考点】多进制的判断【难度】5星【题型】解答
二进制转换方法的口诀【解析】
【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．
但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．
另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12．
所以，n 只能是6．
【答案】6
【例11】在几进制中有12512516324⨯=？
【考点】多进制的判断【难度】5星【题型】解答
【解析】
【解析】注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．
再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．
因为出现了6，所以n 只能是7．
【答案】7
【巩固】算式153********⨯=是几进制数的乘法？
【考点】多进制的判断【难度】5星【题型】解答
【解析】
【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．
因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．
【答案】8

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