负数在计算机中如何表⽰？
⼀.简介
问⼀个基本的问题，负数在计算机中如何表⽰？
举例来说，+8在计算机中表⽰为⼆进制的1000，那么-8怎么表⽰呢？
很容易想到，可以将⼀个⼆进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表⽰正数，等于1时就表⽰负数。⽐如，在8位机中，规定每个字节的最⾼位为符号位。那么，+8就是00001000，⽽-8则是10001000。
但是，随便⼀本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采⽤2的补码（Two's Complement）表⽰负数。
⼆.什么是2的补码？
它是⼀种数值的转换⽅法，要分⼆步完成：
第⼀步，每⼀个⼆进制位都取相反值，0变成1，1变成0。⽐如，00001000的相反值就是11110111。
第⼆步，将上⼀步得到的值加1。11110111就变成11111000。
所以，00001000的2的补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是⽤11111000表⽰。
不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采⽤这么⿇烦的⽅式表⽰负数，更直觉的⽅式难道不好吗？
昨天，我在⼀本书⾥⼜看到了这个问题，然后就花了⼀点时间到⽹上资料，现在总算彻底搞明⽩了。
2的补码的好处
⾸先，要明确⼀点。计算机内部⽤什么⽅式表⽰负数，其实是⽆所谓的。只要能够保持⼀⼀对应的关系，就可以⽤任意⽅式表⽰负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择⼀种最⽅便的⽅式。
2的补码就是最⽅便的⽅式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使⽤同⼀种电路完成。
还是以-8作为例⼦。
假定有两种表⽰⽅法。⼀种是直觉表⽰法，即10001000；另⼀种是2的补码表⽰法，即11111000。请问哪⼀种表⽰法在加法运算中更⽅便？
随便写⼀个计算式，16 + (-8) = ?
16的⼆进制表⽰是 00010000，所以⽤直觉表⽰法，加法就要写成：
可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成⼗进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适⽤于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，⼀套⽤于正数加正数，还有⼀套⽤于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。现在，再来看2的补码表⽰法。补码的最小负数
可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是⼀个9位的⼆进制数。我们已经假定这是⼀台8位机，因此最⾼的第9位是⼀个溢出位，会被⾃动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成⼗进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表⽰法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从⽽⽤⼀套电路就可以实现全部整数的加法。
2的补码的本质
在回答2的补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换⽅法是怎么来的。
要将正数转成对应的负数，其实只要⽤0减去这个数就可以了。⽐如，-8其实就是0-8。
已知8的⼆进制是00001000，-8就可以⽤下⾯的式⼦求出：
因为00000000（被减数）⼩于0000100（减数），所以不够减。请回忆⼀下⼩学算术，如果被减数的某⼀位⼩于减数，我们怎么办？很简单，问上⼀位借1就可以了。
所以，0000000也问上⼀位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：
进⼀步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上⾯的式⼦可以拆成两个：
2的补码的两个转换步骤就是这么来的。
为什么正数加法适⽤于2的补码？
实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以⽤X加上Y的2的补码完成。
Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：X + (11111111-Y) + 1
我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1
接下来，分成两种情况讨论。
第⼀种情况，如果X⼩于Y，那么Z是⼀个负数。这时，我们就对Z采⽤2的补码的逆运算，求出它对应的正数绝对值，再在前⾯加上负号就⾏了。所以，
Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y
第⼆种情况，如果X⼤于Y，这意味着Z肯定⼤于11111111，但是我们规定了这是8位机，最⾼的第9位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去100000000。所以，
Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y
这就证明了，在正常的加法规则下，可以利⽤2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换⾔之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。

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