补码的表⽰范围_原码，补码，反码详解
今天由传智播客⽼师给⼤家讲解计算机的原码, 反码和补码. 并且进⾏了深⼊探求了为何要使⽤反码和补码, 以及更进⼀步的论证了为何可以⽤反码, 补码的加法计算原码的减法.。
⼀. 机器数和真值
在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.
1、机器数
⼀个数在计算机中的⼆进制表⽰形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机⽤⼀个数的最⾼位存放符号, 正数为0, 负数为1.⽐如，⼗进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成⼆进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
那么，这⾥的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2、真值
机器数的第⼀位是符号位，后边才是真正的数值，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上⾯的
有符号数 10000011，其最⾼位1代表负，其真正数值是 -3 ⽽不是形式值131(10000011转换成⼗进制等于131)。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：
负数二进制补码运算法则0000 0001的真值 = +000 0001 = +1
1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
⼆. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算⽅法.
在探求为何机器要使⽤补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于⼀个数, 计算机要使⽤⼀定的编码⽅式进⾏存储. 原码, 反码, 补码是机器存储⼀个具体数字的编码⽅式.
1. 原码
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即⽤第⼀位表⽰符号, 其余位表⽰值. ⽐如如果是8位⼆进制:
[+1](原码) = 0000 0001
[-1](原码) = 1000 0001
第⼀位是符号位. 因为第⼀位是符号位, 所以8位⼆进制数的取值范围就是:
[1111 1111 , 0111 1111]
即
[-127 , 127]
原码是⼈脑最容易理解和计算的表⽰⽅式.
2. 反码
反码的表⽰⽅法是: 正数的反码是其本⾝，负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.
[+1] = [00000001](原码)= [00000001](反码)
[-1] = [10000001](原码)= [11111110](反码)
可见如果⼀个反码表⽰的是负数, ⼈脑⽆法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.
3. 补码
补码的表⽰⽅法是：正数的补码就是其本⾝，负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)
[+1] = [00000001](原码) = [00000001](反码) = [00000001](补码)
[-1] = [10000001](原码) = [11111110](反码) = [11111111](补码)
对于负数, 补码表⽰⽅式也是⼈脑⽆法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.
三. 为何要使⽤原码, 反码和补码
在开始深⼊学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上⾯的原码, 反码和补码的表⽰⽅式以及计算⽅法.
现在我们知道了计算机可以有三种编码⽅式表⽰⼀个数. 对于正数因为三种编码⽅式的结果都相同:
[+1] = [00000001](原码) = [00000001](反码) = [00000001](补码)
所以不需要过多解释. 但是对于负数:
[-1] = [10000001](原码) = [11111110](反码) = [11111111](补码)
可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被⼈脑直接识别并⽤于计算表⽰⽅式, 为何还会有反码和补码呢?
⾸先, 因为⼈脑可以知道第⼀位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本⽂最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得⼗分复杂! 于是⼈们想出了将符号位也参与运算的⽅法. 我们知道, 根据运算法则减去⼀个正数等于加上⼀个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法⽽没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.
于是⼈们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的⽅法. ⾸先来看原码:
计算⼗进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果⽤原码表⽰, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使⽤原码表⽰⼀个数.
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:
计算⼗进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原= -0
发现⽤反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. ⽽唯⼀的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然⼈们理解上+0和-0是⼀样的, 但是0带符号是没有任何意义的. ⽽且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表⽰0.
于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0⽤[0000 0000]表⽰, ⽽以前出现问题的-0则不存在了.⽽且可以⽤[1000 0000]表⽰-128:
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128, 在⽤补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使⽤以前的-0的补码来表⽰-128，所以-128并没有原码和反码表⽰.(对-128的补码表⽰[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)
使⽤补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, ⽽且还能够多表⽰⼀个最低数. 这就是为什么8位⼆进制, 使⽤原码或反码表⽰的范围为[-127, +127], ⽽使⽤补码表⽰的范围为[-128, 127].
因为机器使⽤补码, 所以对于编程中常⽤到的32位int类型, 可以表⽰范围是: [-231, 231-1] 因为第⼀位表⽰的是符号位.⽽使⽤补码表⽰时⼜可以多保存⼀个最⼩值.

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