原码，反码，补码及运算
一、定义
  1．原码
  正数的符号位为0，负数的符号位为1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这样的表示方法得到的就是数的原码.
  【例2.13】当机器字长为8位二进制数时:
            X＝＋1011011                  ［X］原码＝01011011
            Y＝-1011011                ［Y]原码＝11011011
            ［＋1]原码＝00000001              [－1］原码＝10000001
            [＋127]原码＝01111111            ［－127]原码＝11111111
  原码表示的整数范围是:
  －（2n-1－1）~＋(2n-1－1)，其中n为机器字长。
  则：8位二进制原码表示的整数范围是－127~＋127
      16位二进制原码表示的整数范围是－32767～＋32767
  2．反码       
  对于一个带符号的数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反.
【例2。14】当机器字长为8位二进制数时：
  X＝＋1011011 ［X］原码＝01011011  [X]反码＝01011011
  Y＝－1011011 [Y]原码＝11011011  [Y]反码＝10100100
  ［＋1］反码＝00000001    ［－1]反码＝11111110
  [＋127]反码＝01111111    ［－127］反码＝10000000
  负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式。        反码表示的整数范围与原码相同。
  3．补码
  正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1.
    引入补码以后,计算机中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算,其符号位也参与运算。
  【例2。15】(1）X＝＋1011011 (2） Y＝－1011011
  （1）根据定义有: [X]原码＝01011011        ［X］补码＝01011011
  （2） 根据定义有： ［Y］原码＝11011011        ［Y]反码＝10100100
  ［Y]补码＝10100101
  补码表示的整数范围是－2n-1~＋（2n-1－1）,其中n为机器字长。
  则：8位二进制补码表示的整数范围是－128～＋127（-128 表示为10000000，无对应的原码和反码）
      16位二进制补码表示的整数范围是－32768~＋32767
  当运算结果超出这个范围时,就不能正确表示数了,此时称为溢出。
所以补码的设计目的是:
⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则。
⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计
  4．补码与真值之间的转换
  正数补码的真值等于补码的本身；负数补码转换为其真值时，将负数补码按位求反，末位加1，即可得到该负数补码对应的真值的绝对值。
  【例2。16】［X］补码＝01011001B,[X]补码＝11011001B，分别求其真值X。
  （1）［X]补码代表的数是正数，其真值：
                                              X＝＋1011001B
                                                ＝＋（1×26＋1×24＋1×23＋1×20）
                                                ＝＋（64＋16＋8＋1)
                                                ＝＋(89）D
  （2)[X］补码代表的数是负数,则真值:
                                              X＝－（［1011001]求反＋1）B
                                                ＝－（0100110＋1）B
                                                ＝－（0100111)B
                                                ＝－（1×25＋1×22＋1×21＋1×20)
                                                ＝－（32＋4＋2＋1）
负数二进制补码运算法则                                                ＝－(39)D
二、补码加、减运算规则
1、运算规则
[X＋Y］补= [X]补＋ [Y]补
[X－Y］补= ［X］补＋ [－Y］补
若已知[Y]补，求［－Y］补的方法是：将［Y］补的各位(包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可.
例如：［Y］补= 101101 ［－Y］补= 010011
2、溢出判断,一般用双符号位进行判断:
符号位00 表示正数 11 表示负数
结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢
例题：设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位
用补码求x+y，x－y
[x]补+［y]补=00 1101+11 1001=00 0110
[x－y]补=[x]补+［－y]补=00 1101+00 0111=01 0100
结果错误,正溢出
数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1，使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制.
数值有正负之分，计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8。即字长为1byte，原码能表示数值的范围为

（—127~-0 +0~127)共256个.

有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算。但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除
运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

( 1 ) 10— （ 1 )10 = ( 1 ）10 + ( —1 ）10 = （ 0 ）10

(00000001)原 + （10000001)原 = （10000010）原 = ( —2 ) 显然不正确.

因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码。反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

（ 1 ）10 — ( 1 ） 10= ( 1 ) 10+ （ -1 ) 10= ( 0 ）10

(00000001) 反+ （11111110）反 = （11111111)反 = ( —0 ) 有问题.

（ 1 ）10 - （ 2)10 = （ 1 )10 + （ —2 )10 = （ -1 )10


(00000001） 反+ (11111101)反 = (11111110）反 = ( —1 ) 正确

问题出现在(+0）和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.（印度人首先将零作为标记并放入运算之中，包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大）。

于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用（—128）代替了（-0),所以补码的表示范围为:

(—128～0～127）共256个。

注意：(-128）没有相对应的原码和反码, （—128） = (10000000） 补码的加减运算如下：

( 1 ） 10— ( 1 ) 10= ( 1 ）10 + （ -1 ）10 = （ 0 )10

(00000001）补 + (11111111）补 = (00000000）补 = ( 0 ） 正确

( 1 ） 10- （ 2) 10= （ 1 )10 + ( -2 ）10 = （ —1 ）10

(00000001） 补+ （11111110） 补= （11111111)补 = （ —1 ) 正确

所以补码的设计目的是:

⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则。

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些你应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧
在计算机内，定点数有3种表示法:原码、反码和补码
所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法,即最高位为符号位，“0"表示正，“1"表示负，其余位表示数值的大小。
  反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外.
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1.
1、原码、反码和补码的表示方法
（1）    原码：在数值前直接加一符号位的表示法。
例如：      符号位  数值位
［+7］原=  0    0000111  B
［-7］原=  1    0000111  B
    注意：a. 数0的原码有两种形式：
            [+0］原=00000000B    [—0]原=10000000B
          b。 8位二进制原码的表示范围：—127~+127
（2)反码：
    正数:正数的反码与原码相同。
    负数:负数的反码，符号位为“1”,数值部分按位取反。
例如:    符号位 数值位
    [+7]反=  0  0000111  B
    [-7］反=  1  1111000  B
注意：a。 数0的反码也有两种形式，即
        [+0］反=00000000B
        [- 0］反=11111111B
      b。 8位二进制反码的表示范围：-127～+127
（3）补码的表示方法
1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如,时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上(正拨）12的整数位或减去(反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时,也可看成从0点出发顺时针拨2格(加上2小时），即2点（0-10=-10=—10+12=2）.因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中,凡是减10的运算都可以用加2来代替,这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。
同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码".
2)补码的表示：
    正数：正数的补码和原码相同。
    负数：负数的补码则是符号位为“1”,数值部分按位取反后再在末位(最低位）加1。也就是“反码+1”。
例如:      符号位 数值位
      ［+7］补=  0  0000111  B
      ［—7］补=  1  1111001  B
补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意:
a.            采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算,运算过程得到简化.正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算,所得结果仍为补码.
b。            与原码、反码不同,数值0的补码只有一个，即      [0]补=00000000B。
c.            若字长为8位，则补码所表示的范围为-128~+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
2．原码、反码和补码之间的转换
由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。
在此，仅以负数情况分析。
(1)    已知原码，求补码。
例:已知某数X的原码为10110100B,试求X的补码和反码。
解：由[X］原=10110100B知，X为负数。求其反码时,符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。
1  0  1  1  0  1  0  0  原码
1  1  0  0  1  0  1  1  反码，符号位不变，数值位取反
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