补码在⼆进制带符号运算中的应⽤
1.  引⼊补码的原因
在数字电路或系统中，为简化电路，常将负数⽤补码表⽰，以便将减法运算变为加法运算。
以钟表为例，时间从6点钟减少到2点钟，可以通过6-4=2逆时针转动4个⼩时实现；也可以通过6+8=14(表盘为12进制，满12部分舍去，所以14表⽰的即为2点)顺时针转动8个⼩时实现同样效果。所以在表盘上，-4与+8具有同样的效果。故对于-4⽽⾔，+8称为它在以12为“模”时的补数。也就是说负数(-X)的补数=模-X的绝对值|X|。所以当模为12时，-4的补码=12-4=8。
数电课本中提到⼆进制数的补码表⽰⽅式：
若基数为，位数为的原码，其补码为
N补=R^n-|N|
这与负数(-X)的补数=模-X的绝对值|X|是⼀致的。在⼆进制带符号运算中，求负数补码时会⽤到对原码取反加1的操作。以-3为例，下⾯将按照上述公式，⽤4位⼆进制数表⽰该数字的补码。
-3的绝对值为3，对应4位⼆进制数为0011；模为16=1111+1。所以
-3补 = (1111+1)-0011= (1111-0011)+1
其中(1111-0011)这⼀步就是对0011按位取反，所以-3补=|-3|按位取反加1。
2.  ⽆符号数和有符号数表⽰范围
以4位⼆进制数为例，当表⽰⽆符号数时，所表⽰范围为0000~1111，对应⼗进制中的0D~15D，共计16个数。
当表⽰有符号数时，最⾼位为符号位，0表⽰正数，1表⽰负数。所表⽰范围0000~1111对应⼗进制中的-8~7，也是16个数。
在数电课本中曾提到:
当⼆进制数为正数时，其反码、补码和原码相同。
当⼆进制数为负数时，保持最⾼为符号位不变，将数值位按位求反(得到反码)，然后在最低位加1得到补码。
3．为什么符号位能参与运算？
如图1所⽰，⼀个4位⼆进制数所能表⽰范围类似于⼀个圆。图中红⾊⼆进制数表⽰的是各数字所对应的补码，即参与真实运算时的代码。从0000到1111，随着补码值的增长，对应⼗进制数依次为0,1,2,3,4,5,6,7,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1，共计16个数。也就是说补码能按照从0000~1111⾃然增长的⽅式，去决定-8~7之间数字在“圆型表盘”上的位置。以0-3为例，可以看做逆时针减去3个数；也可以看做顺时针加上13个数，⽽这个13所对应的⼆进制数1101就是-3的补码，这⾥就将0-3的减法转换成了0+13的加法。最后⼀步就是将补码13(1101)转换为相应的原码：-3(1011).具体转换⽅式见问题5回答。
4.  为什么负数在求补码时符号位要保持不变，其余位求反加1？
在图1所⽰的圆中，以0(0000)和-8(1000)为界分为了两个半圆。其中⼀半是0~7共计8个数，它们的共同点是最⾼位都为0；另⼀半是-8~-1，它们的共同点是最⾼位都为1。
对于0~7，其计数规律符合⼈的使⽤习惯，这⾥不再表述。⽽对于-8~-1，最⾼位为1⼀⽅⾯说明它们都是负数；另⼀⽅⾯说明这些值在实际计算中，已经在“表盘上”多⾛了半圈。也就是说减去⼀个数x，相当于在加8基础上再加上(8-|x|)。所以对于4位⼆进制表⽰的负数，原码转补码过程就是：符号位不变(最⾼位表⽰的半圈——加8)，其余位置取反加1(余下三位⼆进制表⽰的模为8，取反加1就是执⾏8-
|x|)。
5.  为什么运算完的结果还要再转为原码？
在不超限溢出的前提下，如果计算结果为正数，那么补码与原码相同，得到的就是正确结果；如果计算结果为负数，还需要将补码再转换成原码。仍以0-3为例，在图1中，-3所对应补码为1101，如果不加处理，1101对应的将是-5，抛开最⾼位的负号不看，显然3跟5是关于低三位的模8是互为补数的。也就是说对于-3，已知补码为1101后，保持最⾼位不变，低三位取反加1(即低三位求补)，就能得到对应的原码1011（机器求原码的⽅法）。同样的-7的补码对应-1，-6的补码对应-2……也符合这样的规律，具体见表⼀中负数的补码和对应⼗进制数之间的关系。故计算完得到补码后，仍要转为原码。另附⼀种已知补码，简单计算原码的⽅法，如图3所⽰(⼈求原码的⽅法)，其基本原理参考图1即可。对于计算中出现的溢出问题，见图3，溢出会造成错误计算结果，是要着⼒避免的。
表⼀ 4位⼆进制数原码、反码、补码对照表
正数(正数的原码=反码=补码)负数
⼆进制⼗进制⼆进制原码⼆进制反码⼆进制补码⼗进制
00000——1000(-0D)-8
00011100111101111(-7D)-1
00102101011011110(-6D)-2
00113101111001101(-5D)-3负75的补码怎么求
01004110010111100(-4D)-4
01015110110101011(-3D)-5
01106111010011010(-2D)-6
01117111110001001(-1D)-7
图1 四位⼆进制数表⽰范围⽰意图
图2 有符号数已知补码求原码⽅法
图3 溢出问题
本⽂参考⽂献：
[1] 康华光. 电⼦技术基础数字部分(第六版)[M]. ⾼等教育出版社, 2013.[2] ⽔头⼀寿, ⽶泽辽, 藤⽥裕⼠，等. CPU⾃制⼊门[J]. 2014.

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