第一章 数制与编码
1.1 数制
数制是计数的方法，通常采用进位计数制。
在进位计数制的多位编码中，数制是：
⏹ 每一位的构成方法，以及
⏹ 从低位到高位的进位规则。
常用的数制：
⏹ 二进制（Binary）、
⏹ 八进制（Octal）、
⏹ 十进制（Decimal）、
⏹ 十六进制（Hex-decimal）。
例如：十进制：
⏹ 每一位——十进制数由0~9个数字符号（数码）和小数点组成，
⏹ 进位规则——“逢十进一”（基数为10）。
1.1.1 记数法和分析方法
记数法——位置记数法，
分析方法——按权展开式。
例如：十进制数
(652.5)10=6×102+5×101+2×100+5×10-1
左边为“位置记数法”，右边为“按权展开式”。
代数式为：
说明：每一个数位上的数码有不同的权值，
⏹ 权值从左到右以基数的幂次由大到小，
⏹ 数位从左到右由高位到低位排列。
例如：二进制数
(101.11)2 = 1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2
任意进制（基数为R）记数法：
八进制和十六进制的按权展开式以此类推。
1.1.2 数制转换
数值相等，记数方法（数值）不同的数之间的转换。
数制转换的本质是——权值的转换。
1.1.2.1 任意进制到十进制的转换
利用任意进制数的按权展开式，可以将一个任意进制数转换成等值的十进制数。
例如：
(1011.01)2 =1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2=(11.25)10
例如：
(8FA.C)16=8×162+F×161+A×160+C×16-1=2048+240+10+0.75=(2298.75)10
1.1.2.2 “十二”进制转换
考查整数部分，数的二进制按权展开式：
设：(D)10可以由n位二进制数表示，即 (D)10=(kn-1kn-2,…,k1k0)2
存在：
(D)10=kn-1×2n-1+kn-2×2n-2+…+k1×21+k0×20
(D)10/2= kn-1×2n-2+kn-2×2n-3+…+k1×20 + k0 / 2
((两个负数的补码相加D)10/2商的整数部分)/2= kn-1×2n-3+kn-2×2n-4+…+k2×20 + k1 / 2
“孤立”余数后，整数的商再除以基数2，依次类推；余数依次为从低到高位的二进制数位。
故而，十进制整数转换为二进制数，采用“除2取余”法。
例1.1：将(173)10转换为二进制数
解：
考查纯小数部分——将十进制纯小数转换为二进制数
设：(D)10=k-1×2-1+k-2×2-2+…+k-(m-1)×2-(m-1)+k-m×2-m
存在：
(D)10=  k-1 +k-2×2-1+…+k-(m-1)×2-(m-2)+k-m×2-(m-1)
“孤立”整数部分，小数部分再乘以基数2，依次类推。
故而，十进制小数部分转换为二进制数，采用“乘2取整”法。
例1.2：将(0.6875)10转换为二进制数
解：
例1.3：将十进制转换成二进制——(219.723)10
解：
思考：转换误差为多少？考虑最低有效位对应的权：2-m，m是保留的位数，若要保持原数据的精度，二进制小数位的位数应保留几位？
1.2.3 “二十六”进制转换
由于4位二进制数恰好代表0~15共16种取值，而且将4位二进制数看作一个整体时，它的进位输出恰好是逢十六进一，所以采用“分组对应”法。
例如：将(1011101.101001)2转换为十六进制数
从小数点，
⏹ 整数部分从低到高4位一组，最高一组如不足4位高位以0补齐；
⏹ 小数部分从高到低4位一组，最低一组如不足4位低位以0补齐。
(  101 1101.1010 0100  )2
所以，(1011101.101001)2=(5D.A4)16 。
1.1.2.3 “十六二”进制转换
采用“等值代替”法。
例如：(8FA.C6)16=( 1000 1111 1010 . 1100 0110 )2=( 100011111010.1100 011)2。
1.1.2.4 小结
二进制、十六进制、八进制 数之间的转换方法为：（图1. 1）
图1. 1 进制之间的转换方法
其中，十进制到二进制的转换：
⏹ 整数部分：除2取余，
⏹ 纯小数部分：乘2取整。
1.1.3 二进制正负数的表示及运算
1.1.3.1 二进制四则运算
⏹ 加法： 1+1=0 进位1，逢二进位；
⏹ 减法： 0-1=1 借位1，逢二借位；
⏹ 乘法： 1×1=1，0×1=0；多位乘法，结合加法；
⏹ 除法：多位除法，乘法结合减法。
1.1.3.2 二进制正负数的表示
1.1.3.2.1 原码
对于给定的字长，最高位为符号位，表示正负号：
⏹ 0 —— 正，
⏹ 1 —— 负，
其余各位表示数的绝对值。
例如：设8-bit（含符号）字长，
[(+43)10]=(0 010 1011)2=(2B)16
[(-43)10]=(1 010 1011)2=(AB)10
正数的无符号和有符号的表示方法相同，正数的原码是它本身。
1.1.3.2.2 反码
负数的反码是对其绝对值正数的编码（正数原码）求反。
方法1：对绝对值位域求反；符号为：正数原码为”0”，则负数反码为”1”；
方法2（推荐）：对整个码字逐位取反。
例如：
[(+25)10]=(0 001 1001)2=(+19)16
[(-25)10]原=(1 001 1001)2
[(-25)10]反=(1 110 0110)2
1.1.3.2.3 补码
计算补码的方法1——“反码加一”，确切地说是：
给定某数，若已知相反符号数的二进制编码（有符号数的补码编码，对于正数，补码编码与原码编码相同），将相反符号数的码字含符号位逐位取反，然后从最低位加上1。这也是求相反符号数补码的方法。
特例：对于0的取相反符号数的操作。例如，设字长4 bit，则有：
(0000)2  —(取反)  (1111)2 —(+1)  1  0000
补码的性质：“0”的补码编码是唯一的。
可以用补码表示有符号的定点数，例如：（设：含符号位字长为8-bit）
(+25)10 = (0 001 1001)2 —(取反) [(1 110 0110)2]反 —(+1) [(1 110 0111)2]补

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