浮点数在计算机中用以近似表示任意某个实数。具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。 浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。 一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × be。在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。m（即尾数）是形如±ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。如果m的第一位是非0整数，m称作规格化的。有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。e是指数。 这种设计可以在某个固定长度的存储空间内表示定点数无法表示的更大范围的数。 例如，一个指数范围为±4的4位十进制浮点数可以用来表示43210，4.321或0.0004321，但是没有足够的精度来表示432.123和43212.3（必须近似为432.1和43210）。当然，实际使用的位数通常远大于4。 此外，浮点数表示法通常还包括一些特别的数值：+∞和−∞（正负无穷大）以及NaN（'Not a Number'）。无穷大用于数太大而无法表示的时候，NaN则指示非法操作或者无法定义的结果。 大部份计算机采用二进制（b=2）的表示方法。位(bit)是衡量浮点数所需存储空间的单位，通常为32位或64位，分别被叫作单精度和双精度。有一些计算机提供更大的浮点数，例如英特尔公司的浮点运算单元Intel8087协处理
器（以及其被集成进x86处理器中的后代产品）提供80位长的浮点数，用于存储浮点运算的中间结果。还有一些系统提供128位的浮点数
浮点数的表示
在实际应用中，往往会使用实数，例如下面的一些十进制实数：
                          179.2356=0.1792356x10^3
                          0.000000001=0.1x10^8
                          3155760000=0.215576x10^6
很明显，上述第一个数既有整数也有小数，不能用定点数格式化直接表示，后两个数则可能超出了定点数的表示范围，所以计算机引入了类似与科学表示法来标示实数。
(1)典型的浮点数格式
在机器中，典型的浮点数格式如图所示

浮点数代码由两部分组成：阶码E和尾数M。浮点数真值为：
                                N=+/-(R^E)xM
R是阶码的底。在机器中一般规定R为2，4，8或16，与尾数的基数相同。例如尾数为二进制，则R也为2。同一种机器的R值是固定不变的，所以不需要在浮点数代码中表示出来，他是隐含约定的。因此，机器中的浮点数只需表示出阶码和尾数部分。
E是阶码，即指数值，为带符号整数，常用移码或补码表示。
M是尾数，通常是纯小数，常用原码或补码表示。
S是尾数的符号位，安排在最高位。它也是整个浮点数的符号位，表示该浮点数的正负。
浮点数表示范围主要由阶码决定，精度则主要由尾数决定。为了充分利用尾数的有效位数，同时也使一个浮点数具有确定的表示形式，通常采用浮点数规格化形式，即将位数的绝对值限定在某个范围之内。如果阶码的底位2，则规格化浮点数的尾数应满足条件：1/2=<|M|<1.尾数作为定点数小数，其绝对值应小于1；由于利用了最高位，其绝对值应大于或等于(0.1)2,即1/2。从形式上看：对于正数，规格化尾数最高数位m1=1，这意味着尾数的有效位数被充分利用了。对于负数补码，一般情况下尾数最高位数m1=0，但有一种特殊情况除外，即M=-1/2(此时m1=1)。(这时它讨论的前提是位数是用补码表示)
例：某浮点数长12位，其中阶码4位用补码表示；尾符1位，尾数7位用补码表示。写出二进制(-101.011)2的规格化浮点数代码。
(-101.011)2=(-0.101011)2x2^3
其浮点数代码为| 1| 0 | 011|0101010 |
                      尾符 阶码      尾数
这个题你要小心的是尾数是7位，你把-0.101011换成补码时要先补满7位。
(2)移码(增码)
浮点数的阶码是带符号定点整数，常用移码表示。
若浮点数阶码为n+1(包括阶符)，则移码定义如下：
[x]移=2^n+x    -2^n=<x=<2^n-1
上式中x表示真值，[x]移表示x的移码，
移码的一些性质a移码其实就是把真值映射到0~255正数域，若将移码视作无符号数，则移码的大小就反映了真值的大小，这讲便于两个浮点数的阶码比较。
              b最高位为符号位，表示形式与原码和补码相反，1表示正，0表示负。
              c移码与补码的关系：[x]补=2^(n+1)+x(mod 2^(n+1))=2^n+2^n+x=2^n+[x]移。从形式上看，[x] 移与[x]补符号位相反外，其余各位相同。
              d移码表示中，0有唯一的编码，即[+0]移=[-0]移=100……0。
              e[x]移位全0时，表示阶码最小
(3)浮点数表示范围
浮点数的表示范围和阶码的底有关，也与阶码和尾数的位数以及采用的机器数表示形式有关。
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典型值            阶码          尾数                真值             
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最大整数          11……1        0.11……1          2^(2^k-1)x(1-2^(-n))
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绝对值最大负数    11……1        1.00……0          2^(2^k-1)x(-1)   
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非0最小正数      00……0        0.10……0          2^(-2^k)x2^(-1)   
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绝对值最小负数    00……0        1.0……0          2^(-2^k)x(-2^(-1))
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(4)使用浮点数格式举例
按IEEE标准，常用的浮点数的格式为：
                                数符        阶码        尾数      总位数
                  短实数        1            8          23          32
                  长实数        1          11          52          64
                  临时实数      1          15          64          80
下面以32位浮点数(短实数)为例，讨论浮点代码与其真值之间的关系，其浮点格式如下
           
                        31 30              23 22                  0
                      | s |  |          |  |  |              |  |
                      数符|…… 阶码 …………||………… 阶码 …………|
最高位是数符s，其后8位阶码，以2为底，阶码偏置位127。其余23位是尾数，为了尾数部分能表示更多一位的有效值，IEEE754采用隐含尾数最搞数位1(即这一位1不表示出来)的方法，因此尾数实际上是24位。应注意隐含的1是一位整数(即位权位2^0)，在浮点格式中表示出来的23位尾数是纯小数并用原码表示，尾数的真值为：1+尾数。这样，上述格式的非0浮点数真值为
(-1)x2^(阶码-127)x(1+尾数)
根据上式，可得出上述格式的浮点数表示范围位-2^128x(2-2^(-23))~2^128x(2-2^(-23)),所能表示的最小绝对值位2^(-127).
例：
若采用IEEE短实数格式，试求出32位浮点数代码(CC968000)16的真值。
解：以上代码转换位2进制如下：
                          1，10011001，00101101000000000000000
                                阶码          尾数
由于数符是1，所以该数是负数。
阶码真值=10011001-(127)10=(153)10-(127)10=(26)10
尾数真值=1+0.00101101=1+(0.00101101)2=1+(0.17578125)10=(1.17578125)10
故该浮点数的真值=-2x1.17578125 。
例：
试将-(0.11)2用IEEE短实数浮点数格式表示出来。
解：(-0.11)2=-0.11x2^0
            =-1.1x2^(-1)
            =-(1+0.1)x2^(-1)
该数为负数，所以数符为1.
阶码=阶码真值+127=-1+127=126=(01111110)2
尾数=0.1000……0
所以浮点数代码为1，01111110，10000000000000000000000
注意：IEEE标准尾数采用的是原码
现在来看一个10进制转换为16进制以IEEE为标准：
float
共计32位，折合4字节
由最高到最低位分别是第31、30、29、……、0位
31位是符号位，1表示该数为负，0反之。
30-23位，一共8位是指数位。
22-0位，一共23位是尾数位。
每8位分为一组，分成4组，分别是A组、B组、C组、D组。
每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即：DCBA
    一步步的将float型浮点数12345.0f转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进制表示：1 11100010 01000000也可以这样表示：11110001001000000.0然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位，就是最高位的1：1.11100010010000000一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样：1.11100010010000000 * ( 2 ^ 16 )好了，现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见，最高位永远是1，因为你不可能把买了1
6个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧！所以这个1我们还有必要保留他吗？好的，我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了：11100010010000000最后在尾数的后面补0，一直到补够23位：11100010010000000000000 再回来看指数，一共8位，可以表示范围是0 - 255的无符号整数，也可以表示-128 - 127的有符号整数。但因为指数是可以为负的，所以为了统一把十进制的整数化为二进制时都先加上127，在这里，我们的16加上127后就变成了143，二进制表示为：1000111112345.0f这个数是正的，所以符号位是0，那么我们按照前面讲的格式把它拼起来：
0 10001111 11100010010000000000000
01000111 11110001 00100000 00000000
再转化为16进制为：47 F1 20 00，最后把它翻过来，就成了：00 20 F1 47。(因为在内存中的存储是倒序的)
现在你自己把54321.0f转为二进制表示，自己动手练一下！
最后我们来讨论精度的问题：
记得以前我和我们老师讨论个问题，这个老师的确不咋样，float的确有个取值区间，可是不是在这区间里的值它都能准确表示。由于灵敏度的原因。
以下为COPY
有了上面的基础后，下面我再举一个带小数的例子来看一下为什么会出现精度问题。
按照IEEE浮点数表示法，将float型浮点数123.456f转换为十六进制代码。对于这种带小数的就需要把整数部和小数部分开处理。整数部直接化二进制：100100011。小数部的处理比较麻烦一些，也不太好讲，可能反着讲效果好一点，比如有一个十进制纯小数0.57826，那么5是十分位，位阶是1/10；7是百分位，位阶是1/100；8是千分位，位阶是1/1000……，这些位阶分母的关系是10^1、10^2、10^3……，现假设每一位的序列是{S1、S2、S3、……、Sn}，在这里就是5、7、8、2、6，而这个纯小数就可以这样表示：n = S1 * ( 1 / ( 10 ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( 10 ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( 10 ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( 10 ^ n ) )。把这个公式推广到b进制纯小数中就是这样：
n = S1 * ( 1 / ( b ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( b ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( b ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( b ^ n ) )
天哪，可恶的数学，我怎么快成了数学老师了！没办法，为了广大编程爱好者的切身利益，喝口水继续！现在一个二进制纯小数比如0.100101011就应该比较好理解了，这个数的位阶序列就因该是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625……。乘以
S序列中的1或着0算出每一项再相加就可以得出原数了。现在你的基础知识因该足够了，再回过头来看0.45这个十进制纯小数，化为该如何表示呢？现在你动手算一下，最好不要先看到答案，这样对你理解有好处。
我想你已经迫不及待的想要看答案了，因为你发现这跟本算不出来！来看一下步骤：1 / 2 ^1位（为了方便，下面仅用2的指数来表示位），0.456小于位阶值0.5故为0；2位，0.456大于位阶值0.25，该位为1，并将0.45减去0.25得0.206进下一位；3位，0.206大于位阶值0.125，该位为1，并将0.206减去0.125得0.081进下一位；4位，0.081大于0.0625，为1，并将0.081减去0.0625得0.0185进下一位；5位0.0185小于0.03125，为0……问题出来了，即使超过尾数的最大长度23位也除不尽！这就是著名的浮点数精度问题了。不过我在这里不是要给大家讲《数值计算》，用各种方法来提高计算精度，因为那太庞杂了，恐怕我讲上一年也理不清个头绪啊。我在这里就仅把浮点数表示法讲清楚便达到目的了。
OK，我们继续。嗯，刚说哪了？哦对对，那个数还没转完呢，反正最后一直求也求不尽，加上前面的整数部算够24位就行了：1111011.01110100101111001。某BC问：“不是23位吗？”我：“倒，不是说过了要把第一个1去掉吗？当然要加一位喽！”现在开始向左移小数点，
大家和我一起移，众：“1、2、3……”好了，一共移了6位，6加上127得131（怎么跟教小学生似的？呵呵~），二进制表示为：10000101，符号位为……再……不说了，越说越啰嗦，大家自己看吧：
0 10000101 111011*********01111001
42 F6 E9 79
79 E9 F6 42小数的原码
下面再来讲如何将纯小数转化为十六进制。对于纯小数，比如0.0456，我们需要把他规格化，变为1.xxxx * （2 ^ n ）的型式，要求得纯小数X对应的n可用下面的公式：
n = int( 1 + log (2)X );
0.0456我们可以表示为1.4592乘以以2为底的-5次方的幂，即1.4592 * ( 2 ^ -5 )。转化为这样形式后，再按照上面第二个例子里的流程处理：
1. 01110101100011100010001
去掉第一个1
01110101100011100010001
-
5 + 127 = 122
0 01111010 01110101100011100010001
最后：
11 C7 3A 3D

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