函数的值域
求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一.遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题更是少的屈指可数.原因可能是求函数的值域往往需要用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因而求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化.
一、 函数的值域的概念
一般的，设函数)(x f 的定义域为I ，函数值的集合{}I x x f ∈|)(叫做函数的值域，
.值域还可以理解为函数值的取值范围.
二、 常见函数的值域(结合图像理解)
1．
函数的定义域怎么算
一次函数 )0(≠+=k b kx y 的定义域是R ，值域也是R . 2． 二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，
当0>a 时，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2或⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞-,442
a b ac  当0<a 时，值域为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≤a b ac y y 44|2.或⎥⎦⎤  ⎝⎛-∞-a b ac 44,2 3． 反比例函数 )0(≠=k x
k y 定义域为{}0|≠x x 或()()+∞⋃∞-,00,， 值域为{}0|≠y y 或()()+∞⋃∞-,00,.
4．
常函数 c y =的定义域为R ，值域为{}c  5．
指数函数 )1,0(≠>=a a a y x 的定义域为R ，值域{}0|>y y  6．
对数函数 )1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域为{}0|>x x ，值域为R . 7． 幂函数 3x y =的定义域为R ，值域为R .
21
x y =的定义域为[)+∞,0，值域为[)+∞,0
8． 三角函数
x y sin =和x y cos =的定义域为R ，值域为[]1,1-
x y tan =的定义域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈≠Z k k x x ,2|π，值域为R . 9． 对勾函数0,>+=k x
k x y 的定义域为()()+∞⋃∞-,00,， 值域为()()
+∞⋃-∞-,,k k  三、 常见函数在给定区间上的值域
1. 一次函数
2. 二次函数
3. 反比例函数
四、 图像法
若给定函数能够作出图象，则可通过观察图象直接得出该函数的值域，但必须保证函数的图象要非常精确，尤其在一些关键的线(渐近线、分界限、对称轴等)和关键点（顶点、交点、间断点、孤立点、端点、定点等，及这些点的虚实情况）.主要处理分段函数的值域. 1.41-+-=x x y                                      答：[)+∞,5 2.13+--=x x y                                      答：[]4,4-
五、 单调性法
如果函数)(x f 在[]b a ，上单调递增，则其值域为[])(),(b f a f ；如果函数)(x f 在[]b a ，上单调递减，则其值域为[])(),(a f b f .
例1 x x y --=1
例2  11--+=x x y    (]
2,0
x x y -++=11    []
2,2分子有理化 例3  22)5(22310--+=--+=x x x x x y  解：令θcos 25=-x
则[]
7251)4
sin(2245,44,5)4sin(25cos 2sin 2sin 2)5(2,0,1cos 10cos 220)5(2222≤≤-≤+≤-
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈+++=++==--∈⇒≤≤-⇒≥-⇒≥--y y x x πθπππθπ
θθθθ
πθθθ，
六、 定义法
对于有些函数不能作出图像，单调性又不明确，要求出这些函数的值域需要从定义域（x 的取值范围）出发， 从内到外经过对应关系层层退出，直到求出函数值y 的取值范围.主要用来处理复合函数的值域(对函数)(),(x g u u f y ==先求出)(x g u =的值域充当)(u f y =的定义域，从而求出))((x g f y =的值域的方法). 1.52+=x y                2.)352(log 22
1++-=x x y    ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,849 3.11-+-=x x y
七、 分离常数法（齐次分式函数）
1. 一次齐次分数函数 ),0(bc ad ac b
ax d cx y ≠≠++=
例1 11+-=
x x y
例2 112+-=
x x y
例3 x x y -+=
53
例4 121+-=
x x y
例5 1
213+-=
x x y
2. 部分二次齐次分数函数 1
22+--=x x x x y  解：1
11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x x y  八、 换元法（形如d cx b ax y +++=的值域问题）
1.x x y -+=1      令11≤-=x x
t  则 0≥t  注意新旧两元范围的变化  2.21x x y -+= 三角换元令)0(cos πθθ≤≤=x
3.21x x y -=      三角换元令αsin =x
九、 判别式法-----函数的值域就是使关于x 的方程)(x f y =在定义域有解的y  的取值范围. 形如2
2221121c x b x a c b x a y ++++=，其中021≠a a ，且分子分母无非常数公因式.
十、 基本不等式法
例1求函数x
x y 1+
=的值域  例2求函数)0(122>+=x x x y 的值域 十一、
十二、几何法 利用几何上的一些结论，如两点间的线段最短、直线外一点与直
线（或平面）上各点连线中垂线断最短.
十三、反求法 用y 来表达x ，适用于x 的范围知道，且能用y 来表达x
例1  1
1+-=x x e e y
例2  2cos 31cos 2-+=x x y    [)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,351,      x x y sin 2sin 2+-=    ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡3,31 求函数的值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法都有极强的针对性，每一种方法又不是万能的，要顺利的解答求函数的值域问题，必训熟练掌握各种技巧方法.

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