（完整）高一数学求函数解析式定义域与值域的常用方法(含答案)
                   
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高一数学求函数的定义域与值域的常用方法
一. 求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的解析式，求函数的定义域,求函数的值域，求函数的最值
二. 求函数的解析式
3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
(2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值；
（3)换元法:若给出了复合函数f［g(x）］的表达式，求f(x)的表达式时可以令t＝g(x),以换元法解之;
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f(1/x)的一个方程，则可以x代换－x（或1/x)，构造出另一个方程,解此方程组，消去f(－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定.
(二)求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;
3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数,等等;
4、对复合函数y＝f[g（x)］的定义域的求解，应先由y＝f（u)求出u的范围,即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；
一：求函数解析式
1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例1. 已知，试求。
解：设，则，代入条件式可得：，t≠1。故得：.
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
2、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
例2。 （1）已知,试求；
(2）已知,试求；
解：（1）由条件式,以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。
（2)由条件式，以－x代x则得:,与条件式联立,消去，则得：。
说明：本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4。 求下列函数的解析式：
(1）已知是二次函数，且，求；
(2)已知，求，，；
（3）已知，求；
（4)已知，求.
【思路分析】
【题意分析】（1)由已知是二次函数，所以可设，设法求出即可。
（2)若能将适当变形，用的式子表示就容易解决了。
（3）设为一个整体，不妨设为，然后用表示，代入原表达式求解。
（4）,同时使得有意义，用代替建立关于，的两个方程就行了。
【解题过程】⑴设，由得,
由，得恒等式，得。
故所求函数的解析式为.
(2),
又。函数的定义域怎么算
（3）设，
则
所以。
(4）因为 ①
用代替得 ②
解①②式得.
【题后思考】求函数解析式常见的题型有：
(1）解析式类型已知的,如本例⑴,一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式，顶点式和标根式的选择;
(2）已知求的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）(3）；
（3)函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（4）.若函数方程中同时出现，,则一般将式中的用代替,构造另一方程。
特别注意:求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域.
二：求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合.

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