第4讲  函数的图象与性质
函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．
函数的性质与图象
【知识要点】
函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．
本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．
1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则
这个函数叫做奇函数．
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．
由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点关于原点对称，我们可以得到：
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．
2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量x＝x2－x1＞0，则
当y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；
当y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调
性，区间M称为单调区间．
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．
4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
【复习要求】
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；
2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．
3．了解函数周期性的含义．
4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．
函    数
【知识要点】
要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．
1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．
2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．
其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．
3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．
【复习要求】
1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．
2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．
3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．
4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．
【教材回归】1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为，当a<0时，值域为；
③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R函数的定义域怎么算|y≠0}．
【例题分析】
1.函数f（x）＝+的定义域为（  ）
A．[0，2）    B．（2，+∞）   
C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）    D．[0，2）∪（2，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：，解得：，
故x∈[0，2）∪（2，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题．
2.函数的定义域为（  ）
A．[﹣2，0]    B．（﹣2，0）    C．（﹣2，0]    D．（﹣2，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．版权所有
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】C
【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则1﹣log2（x+2）≥0得log2（x+2）≤1，即0＜x+2≤2，得﹣2＜x≤0，
即函数的定义域为（﹣2，0]，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合根式成立的条件进行转化是解决本题的关键，是基础题．
3.下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（  ）
A．y＝    B．   
C．y＝2﹣2x+1    D．
【考点】函数的值域．版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】C
【分析】根据函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．
【解答】解：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4≥﹣4，∴y＝的值域是R，不满足条件．
∵0≤1﹣2x＜1，则函数的值域为[0，1），不满足条件．
y＝2﹣2x+1＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．
y＝∈（0，1）∪（1，+∞），不满足条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
【例题分析】
1.下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是（  ）
A．y＝ex    B．y＝x3    C．y＝sinx    D．y＝tanx
【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】B
【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足条件即可．
【解答】解：A．函数是非奇非偶函数，不满足条件．
B．y＝x3是奇函数，在R上是增函数，满足条件．
C．y＝sinx是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．
D．y＝tanx是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数的奇偶性和单调性的性质是解
决本题的关键，是基础题．
2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（  ）
A．y＝cosx    B．y＝﹣log2x    C．y＝2x    D．y＝x﹣2
【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．版权所有

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