1.2.4  从解析式看函数的性质
教学目标：
1、理解函数的最值、有界性、单调性等概念。
2、能利用差分的方法检验函数的单调性。
3、通过函数单调性的证明，提高在代数方面的推理能力。
教学重点：
1．函数的最值、有界性、单调性等概念的形成与形式化定义。
2．利用差分的方法判断或证明函数的单调性。
教学难点：
1． 函数的有界性、单调性等概念的形成与形式化定义。
2． 利用差分的方法判断或证明函数的单调性。
结合图象说出函数的性质
教学过程：
一． 练习
1．画函数图形，并结合图象说出它的性质。
（1）21)(-=x x f ，（2）21)(++=x x x f ，（3）⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0
,00),1(||)(x x x x x x f 。 2．点评练习
（1
单凭这四个点图形怎么画？取多少点合适？这些点之间用怎样的线连结？
如果考虑这个函数图象与已知函数图形的关系，可以在画函数图象前从总体上把握函数图象的特征。事实上，它是函数x
x f 1)(=的图象向右平行移动2个单位得到的。 观察图形知道函数在)2,(-∞上和),2(+∞上都是减函数。无界，无最大值也无最小值。
（2）如果列表得到
单凭这四个点图形更不好画了，这个函数能不能取负值？能不能取大于1的值？看来描哪些点是需要考虑的。应该取那些具有代表性的点，应该在描点之前对此函数图象有一个大致的把握。
把21)(++=x x x f 经过变形得到211212)(+-=+-+=x x x x f ，分析2
1+=x y 的图象与x y 1=的图象的关系，分析21+-=x y 的图象与2
1+=x y 的关系，分析121++-=x y 的图象与2
1+-=x y 的关系。  利用“Z+Z 智能教育平台”当场画出以上两个函数图象。
观察图形知道函数在)2,(--∞上和),2(+∞-上都是增函数，函数值不能等于1。无界，无最大值也无最小值。
（3）可以把函数化为⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=0
,10,00,1)(22x x x x x x f ，然后在黑板上画出图象（注意左右两段与y 轴相交处用圆圈扣掉，在原点处标出实心圆。
从图形观察函数是奇函数，在整个定义域上是增函数，无界，无最大值也无最小值。  问题：在-1和0之间以及在0和1之间函数的图形是怎样的，我们并不是根据描点画图得到的，那么到底怎样才能得到准确的函数图象呢？
二．结合课文分析从函数图象看函数性质的不足之处。
1．板书课题“从解析式看函数性质”
2．带领学生阅读课文38页，并配合课件“描点画函数图象1”讲解。
这个例子说明，光靠“埋头苦干”机械盲目地多取一些点画函数图象是不行的，能不能想些办法预先了解函数的大致特征呢？
3．可见，需要从解析式出发研究函数性质，在数学推理的指导下画图，这样对函数的性质才能了解得更全面、更准确，为此要用更严密的数学语言描述函数的性质。
三．对函数的有界、最值、单调性的重新定义。
（1）函数的最大（小）值的定义
从函数图象的整体看有没有最高点或最低点，如果有，该点的纵坐标就是函数的最大值或最小值。函数如果有最大值必上有界，有最小值必下有界。但函数有界不见得一定有最值，如果存在一条平行于x 轴的直线，使函数图象整个都在这条直线的一侧，则函数或上有
界或下有界，如果存在两条平行于x 轴的直线，使函数图象整个都在这两条直线之间的条形区域内，则函数上下都有界。
对照下图讲解：
设D 是函数)(x f 的定义域，如果有实数D a ∈，使得不等式)()(a f x f ≤对于一切D x ∈都成立，则称函数)(x f 在x =a 处取到最大值M = f (a )，M 为函数)(x f 的最大值（maximum ），a 为)(x f 的最大值点。
类似地，可以定义函数的最小值。（由学生给出）
你能求出二次函数2x y =、2x y -=的最大值、最小值、最大值点和最小值点吗？ 你能求出函数2
11x y +=的最大值、最小值、最大值点和最小值点吗？ 配合图示给出有界函数与函数最大值与最小值的定义。
（2）上界和下界：    如果存在实数B 使得不等式B x f ≤)(对于一切D x ∈都成立，则称B 是函数)(x f 的一个上界（upper bound ）；如果存在实数 A 使得不等式A x f ≥)(对于一切D x ∈都成立，则称A 是函数)(x f 的一个下界(lower bound)。
有上界又有下界的函数叫有界函数（bounded  function ），否则叫无界函数(unbounded  function ）。
请学生对照上图根据定义说明211x y +=
是有界函数。  （3）函数单调性的定义。
对照计算机屏幕指出二次函数2x y =的单调性，强调函数的递增与递减都依赖于某一
区间。
从图象上看函数的单调性：沿x 增加的方向看，即从左朝右的方向看，图象是上扬还
函数的定义域怎么算
是下滑，如果上扬称函数在此区间是递增函数。反映此函数值随自变量的增加而增加，也可以说函数值的变化与自变量的变化是一致的。
把这个意思用严谨的数学语言表达：
设D 是函数)(x f 的定义域，区间I 是D 的子集，如果对于I 上任意两个值1x ，2x ，当1x <2x 时都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f 是区间I 上的递增函数(increasing function)，如果对于I 上任意两个值1x ，2x ，当1x <2x 时都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f 是区间I 上的递减函数(decreasing function)。（配合“函数单调性定义”课件说明，其中1x ，2x 是可用鼠标拖动的。）
如果函数)(x f 是区间I 上的递增函数或递减函数，就说)(x f 在区间I 上是严格单调的，区间I 叫作)(x f 的严格单调区间。
上述定义实际上是用严格的数学语言描述函数值的变化方向与自变量的变化方向一致还是相反。1x <2x 表示自变量从小变大，)()(21x f x f <；表示函数值随之变大。
还可以把)()(12x f x f -记为y ∆，叫作函数的差分（difference ）。记2x -1x 为h ，这是自变量的改变量，如果不加说明，总认为h >0，则2x =1x + h ，。这样一来，当y ∆>0时，函数就是递增函数，当y ∆<0，函数就是递减函数，于是函数的单调性就可以通过计算函数的差分来解决了。（配合计算机课件说明）
四．利用差分配备函数的单调性
例1． 讨论函数b kx x f +=)(（]2,1[,0-∈≠x k ）的单调性，并求出它的最值。 y ∆=)()(x f h x f -+
=)()(b kx b h x k +-++
=kh
当k >0时，kh >0，函数b kx x f +=)(在[-1，2]上是递增函数，b k f +-=-)1(为最小值，b k f +=2)2(为最大值；
当k  <0时，kh <0，函数b kx x f +=)(在[-1，2]上是递减函数，b k f +-=-)1(为最大值，b k f +=2)2(为最小值。（配合计算机演示）
从这个题目中，除了用计算差分判别它的符号证明函数的单调性的方法之外，你从结果

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