课题名称：函数的概念
                                  教学背景分析
（一） 本课时教学内容的功能和地位
    “函数”是描述现实世界中变量之间依赖关系的重要数学模型，是中学数学中最重要的基本概念之一，函数的思想贯穿于整个高中数学的始终．高中函数的概念是在初中学习函数概念的基础之上对函数不同角度的再认识：初中教材从运动变化的观点出发定义函数，有一定的局限性；而高中教材从集合与对应的角度地画函数，明确了函数的三要素，是在初中基础上的提升，有助于对函数概念本质的理解．本节课通过对函数概念的教学，使学生正确理解函数的概念及其符号表示，了解函数的三要素，为函数及整个高中数学的学习奠定基础．
（二） 学生情况分析
    本节课的教授对象是普通校高一学生． 在知识方面：通过初中函数的学习，学生已经掌握了一次函数、二次函数、及反比例函数的概念及图象；了解函数是描述两个变量之间依赖关系的一种数学模型，其本质是x    y上的一种对应关系．本节之前，学生已经会用集合与区间表达数学对象或不等式，具备了用集合与对应的语言刻画函数概念的知识基础．在能力和思维状态方面，高一学生以感性及经验性思维为主，理性思维不足，抽象概括能力薄弱．而函数概念本身又非常抽象，所以学生对于正确理解函数的概念及认识抽象的函数符号，会存在一定的困难．
（三） 教学准备
多媒体课件辅助教学、三个素材的小卷
                                  教学目标
1．进一步体会函数是描述变量间依赖关系的重要数学模型，会用集合与对应的语言刻画函数，初步理解函数的概念，了解函数三要素．
2．经历观察发现、类比归纳、抽象概括、符号表示等思维过程，提高学生的数学思维能力．渗透数形结合、特殊到一般、具体到抽象等数学思想；   
3．通过从实例中抽象出函数概念的过程，体会函数与实际生活的联系，感受数学的应用价值，发展学生的数学应用意识．
                              教学重点和难点分析
  基于教学内容和学生情况，我确定本节课的重难点如下：
教学重点：正确理解函数概念．
教学难点：正确理解函数概念及符号表示．
                                    教学方法
以问题为导向，讲授法、引导启发式教学方法．
    问题的设计遵循学生认知规律：从旧知到新知、从特殊到到一般、具体到抽象、并通过观察、思考、表达、类比、讨论、归纳、概括、应用等思维活动来实现学生对函数概念的逐步认识，达到突出重点、突破难点的目的．
                                  教学过程
教学
环节
                        师生活动
  设计意图
        教学活动
  学生活动
（一）创设
情境
引入
课题
问题1：9月15日22时04分，天宫二号，在长征二号FT2运载火箭的托举下奔赴太空，建立了我国第一个真正意义上的太空实验室.在“天宫”号飞行期间，我们关注它离地面的距离随时间是怎么变化的.“距离”、“时间”是它在运动过程中的两个变量,数学上用“函数”模型来描述两个变量间的依赖关系.初中阶段，我们学习过哪些函数，请举例？
问题2：在初中，“函数”是怎么定义的？
问题3： y=1是函数吗？
  引入：由于y 没有随x的变化而变化，用初中函数的概念不便判断.因此，我们有必要对函数进行更为宽泛地定义.高中，我们将进一步学习函数及其构成要素.本节课,我们将用集合与对应的语言来重新描述函数的概念.
  板书课题---函数的概念
回亿函数的概念及对应特点.
预设：某变化过程中，有两个变量x，y ，给x 一个值，y就有唯一确定的y值与之对应，称y 是x的函数，x是自便量，y是因变量.
由全民瞩目的太空事件引入函数，激发学生兴趣；帮助学生回忆初中函数是建立在运动变化基础上的两个变量之间的一种依赖关系.
 
    引发认知冲突,体会重新定义函数概念的必要性.
（二）探索归纳
形成概念
 
1.素材（1）:运动中的函数
1.一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h=-5t2+130t.  （﹡）
提问：（1）时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？ 请用集合的语言表示.
（2）当t取1秒、10秒时对应的炮弹高度h是多少？当t取100呢？
（3）能否用集合与对应的语言来描述两个变量t与h之间的依赖关系？
教师总结:两个数集A、B，对于集A中的每一个时间t，按照给定的解析式h=-5t2+130t，在集B中都有唯一确定的高度h和它对应.
素材（2）:自然界中的函数
2.近年来，由于环境污染,大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
提问：（1） 观察分析图中曲线，曲线中涉及到哪些变量？追问： 时间t的变化范围是多少？臭氧层空洞面积S的变化范围是多少？请用集合表示.
（2）从左至右观察曲线，随着时间t的增加，面积S如何变化？ 79年对应面积？01年对应面积？
（3）类比素材(1)，尝试用集合与对应的语言描述此描述t、S之间关系.
素材（3）:经历过的函数
3.两个多月前同学们经历了中考，相信大家对中考成绩记忆犹新.观察下表.
  四位同学的学号与中考成绩对照表
学号x
4101
4102
4103
4104
成绩y
522
501
509
509
试一试：类别素材（1）、（2），用集合与对应的语言来描述表格中两个变量之间的关系.
问题探究：
分析、归纳以上三个素材，变量间的关系有什么共同点？
教师指出：这里A、B为非空数集.若A到B上的、具有此特点的对应关系用符号表示，并且与x对应的y值用符号f（x）表示，就得到一般函数的概念.
函数的概念:
    两个非空数集A，B，一个确定的对应关系f.对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x函数的定义域怎么算）和它对应，称为从集合A到集合B的一个函数，记作 
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.值域B
强调：1. 函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
2. 符号y =f(x)，即“y是x的函数”这句话的数学表示.f表示对应关系，其表现形式可以是解析式、图像、表格等；f(x)表示与变量x对应的函数值,不是f乘以x.
跟进练习:指出素材（1）中函数的三要素.
素材（1）中 f(5)=                ；
素材（2）中f(2001) =            ；
素材（3）中f(4101) =            ；
   
    审题，计算、领会什么是集合与对应的语言.
预测：t的范围是数集：，高度h的变化范围是数集：.
观察分析所给曲线,类比素材（1）尝试用集合与对应的语言描述图中函数.
预设（1）: t的变化范围是数集： S的变化范围是数集：
预设（2）：对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的S和它对应.
      类比素材（1）,（2）对表格中所涉及变量间的关系进行思考、判断、描述.
小组讨论：让学生在组内交流讨论，请小组发言人展示讨论成果.
预设：对于集A中的每一个x，按照确定的对应关系，在集B中都有唯一确定的y值和它对应.
观察、思考、求值.
 
  为学生提供丰富的函数背景，感受函数在日常生活中的广泛应用.  
    素材（1）体会用解析式刻画变量间的对应关系，关注t与h的变化范围.
    通过对素材（2）中的变量范围及对应关系进行分析，体会用图像刻画变量间的对应关系，并引导学生逐步用集合与对应的语言刻画函数.
此素材为学生切身经历，将使学生对用表格刻画对应关系的特点体会更加深刻，若将学号换为学生姓名，便可作为映射的实例，贴近实际，容易理解.
    通过生生之间的交流讨论，归纳出变量间关系的共同特点，达成共识，为自然地得出函数概念奠定基础.在概念的形成过程中，体会由具体到抽象、特殊到一般的思想方法.
   
    通过对函数符号的强调和练习，帮助学生正确地理解函数概念及符号表示.
（三）初步
应用
理解
概念
例题1.一支铅笔2元钱，买x支铅笔，钱数y随x的变化规律如何表示？此关系式是否为函数关系？若是，请指出其三要素，并用高中函数的定义进行描述.
解:是函数,解析式为 f(x)=2 x
其三要素分别为：
对应关系f(x)=2 x
定义域A=
值域B=
描述： 对于集A中的任意一个数x，按照确定的对应关系f(x)=2 x,在集合 B中都有唯一确定的f(x) 与之对应.
追问：f(2)=          ；f(5)=        ；
例2. （1）在下列的四个图象中，不能作为某个函数y =f(x)图像的是(  )
(A )    (B )      (C )      (D ) 
（2）y=1(xR)是函数吗？
总结1.函数关系的对应特点:集合A中取数的任意性，集合B中对应数的唯一性.
2.初中是从运动变化的观点出发定义函数,有一定的局限性；高中是用集合与对应的语言刻画函数.两个定义对应关系的特点相同(一个x对应唯一一个y).
函数
对应
关系
定义
域
值域
   
f (-1)=
练习：用高中函数的概念描述下列函数，完成表格.
利用概念进行思考、表达、动笔书写.
根据函数概念进行分析和判断.指出函数的三要素或说明对应关系不能构成函数的理由.
 
    尝试用初高中函数概念分别判断：
y=1(xR)
说出函数的三要素并填表,体会初高中函数概念本质相同.
    对函数概念及符号加深理解，并进一步体会函数是描述变量间依赖关系的重要数学模型.
 
    解决课前所提问题，首尾呼应.再次体会重新定义函数的必要性！
 
    用高中函数的概念解释初中学习过的几种函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应的语言刻画的函数定义，加深对函数概念及符号的理解.
（四）归纳总结
布置作业
    思考：本节课我们在初中学习的基础上，用集合与对应的语言重新定义了函数,并引进了函数符号，明确了函数的构成要素，比较两个函数的定义，你对函数有什么新的认识？
1．小结：
（1）高中函数的概念：构成函数的三个部分(三要素)、对应特点.
（2）两个符号的内涵：符号：即 y是x的函数； f(x):与变量x对应的函数值.
（3）初高中函数概念的认识：初中定义强调两个变量的依赖关系，高中用集合与对应的语言刻画函数，明确了函数的构成要素.
2.布置作业：
（1）举出两个生活中函数的例子，并用集合与对应的语言来描述函数，指出其三要素.
（2）19页练习，写书上.三级跳基础（1）
（3）课外阅读：课本21页《函数概念的发展历程》
    根据问题对本节所学知识进行梳理.
    通过问题引导学生对本节内容进行总结，教师再进行评价、点拨使学生初步理解函数的一般概念.课外阅读可开阔学生数学视野，了解一定的数学史.逐步地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养.
                                学生活动的说明
    课标明确指出：高中课程应注重提高学生的数学思维能力.本节课主要以问题引导学生思维及展开数学活动，问题的设计遵循学生认知规律：从浅入深、从旧到新、从特殊到到一般、具体到抽象. 在问题的引导下学生通过观察、思考、分析、表达、类比、归纳、讨论、概括、等活动来实现学生对函数概念的逐步认识．如通过复习初中函数概念，并利用其判断所给表达式y=1是否为函数，引发学生思考，产生认知冲突，使学生认识到重新定义函数的必要性.而三个素材中涉及到的变量间关系,学生利用初中函数的定义均可得到其为函数关系.素材（1）中通过阅读理解即可回答问题（1），再让学生用集合的语言描述范围，之后动笔计算具体函数值,体会对应中的唯一性及限制变量范围的必要性，自然地提出用集合与对应的语言对函数进行重新描述.再通过类比的方法,逐步描述另外两个素材中变量间的关系，之后通过“思考”引发交流讨论，对三个函数关系的共同点进行交换认识,达成共识.并以此为基础进行抽象概括形成函数概念.由此逐步提高学生的数学思维能力.

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