绪论
在数学研究的许多领域中如代数学、几何学、概率论等都涉及函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型.函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课题.由于函数方程形式多样，涉及面广，难度大，需要大量的数学基础知识.尤其是在中学数学教学中，函数方程是最基本、最易出现的问题，也是历年高考的重点.在中学教学和国内外数学竞赛中，经常遇到函数方程问题.这类题目一般是求解某一给定的函数方程，而数学上尚无一般方法可循.当然，较大一部分中学生在遇到这类问题时，常常没有比较清晰的解题思路.本文就着重以函数与方程的性质来讨论函数方程在中学数学中的应用，及解决问题的途径，并通过实际问题的求解过程来阐述.
首先，我们会给出函数方程的相关概念包括函数方程的定义、函数方程的解以及解函数方程.
其次，利用函数与方程的基本性质，就中学数学中常出现的方法进行归纳并结合相应的例题解析.当然由于中学数学中考查点的不同，我们的讨论也有所侧重.对常见的方法包括换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法等均会加重笔墨，尤其会给出一些较为
典型的例题分析以及巧解的方法，而对于不常用的方法本文也会提到，以让读者了解到比较前全面的函数方程问题的解题策略.
最后，就种种方法进行总结归纳.“法无定法”，关键在于人们对问题的观察、分析，进而选择最优的方法来解决问题.很多情况下，由于解决的途径并不唯一，所以在解决问题的时候一般采用多种方法同步求解，以达到简化求解过程的目的.
1 函数方程的一些相关概念
1.1函数方程的定义
含有未知函数的等式叫做函数方程.如，，等，其中即是未知函数.
1.2 函数方程的解
设某一函数对自变量在其定义域内的所有值均满足某已知方程，那么把就叫做已知函数方程的解.即能使函数方程成立的就叫做函数方程的解.函数方程的解可能是一个函数，也可能是若干个函数或无穷多个函数或无解.如偶函数、奇函数、分别是上述各方程的解.
1.3 解函数方程
求函数方程的解或证明函数方程无解的过程就称为解函数方程.即指的是在不给出具体函数形式，只给出函数的一些性质和一些关系式而要确定这个函数，或求出某些函数值，或证明这个函数所具有的其他性质.
2 函数方程的常见解法
由于函数与方程的性质极多，解题的方法也形式多样，出现较为频繁的有换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法、数学归纳法等等.
2.1 换元法（代换法）
换元法又叫代换法或引进辅助未知数法或定义法.将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不发生变化），得到一个新的较为简单的函数方程，然后直接求解未知函数.但值得注意的是，某些换元会导致函数的定义域发生变化，这时就需要进行验证换元的可行性.
例 2.1 已知,求.
分析 此题是一个最基本的函数方程问题，要求解函数的表达式，就需要将和进行转化.当然，我们可以先用换元法把,用代替，消去,，就得到一个关于的解析式，再用替代，于是得解.但这里我们还给出了另外的解法，就是用的参数表达式进行求解.
解法一 令,所以
，
因为
,
所以
,
即
.
又因为
,
所以
，，
故
，.
解法二 设所求函数的参数表达式
，
，
即得
， （1）
. （2）
，消去参数，得
，
整理，得
，,，
即
,,.
在本题中，由于三角函数可以相互转化，很容易看出与之间的联系，然后直接利用换元法进行转化，但考虑到（或）的定义域，这个环节一般容易出错.故一般采用后面介绍的参数法相对来说也就简单多了.
2.2 赋值法
赋值和代换是确定适合函数方程的函数性质的基本方法，根据所给条件，在函数定义域内赋与变量一个或几个特殊值，使方程化繁为简，从而使问题获解.
例 2.2.1 函数（为非负整数），满足：
（i） 对任意非负整数，有；
（ii） 对任意，有.
求的值.
分析 本题欲求的值，则须了解有什么性质.由条件（i）、（ii）可以联想到的取值是本题的关键，而分别利用条件（i）、（ii）进行推导，并结合反证法推出矛盾，得到的唯一值，进而得解.
解 令，其中为非负整数.由(ii)得
. （1）
若，则
，
矛盾.故，由（i）有
. （2）
若，则
，
于是由（i），得
， （3）
但（2）与（3）矛盾，故是惟一解.当时，式（1）为
，
此函数满足条件（i）、（ii），所以得惟一解.
例 2.2.2 解函数方程.
分析 此题是函数方程里较为典型的一个问题，在很多文章中都有提到.本题中方程含有两个未知数，对于一个方程，首先想到的就是消元，考虑到三角函数的特殊性质，可用一些比较特殊的值分别去代换，再求得的表达式.
解 在原方程中令,得
， （1）
再令,得
， （2）
又再令,得
， （3）
（1）+（2）-（3）得
.
令，并将换成得
,（,均为任意常数）.
代入（1）式验证
.
所以是函数方程（1）的解.
赋值法是很特殊的一种方法，首先它考验人们的“眼力”，即根据所给出的式子出其规律；其次，就是“笔力”即计算方面的能力，所赋的值即某些特殊值要有助于解题；最后，不难看出赋值法其实就是与代换法、消元法等方法相结合的一种方法.如例2.2.1就是赋值法与反证法相结合，例2.2.2是赋值法、代换法、消元法结合的典型.
2.3迭代周期法（递推法）
函数迭代是一类特殊的函数复合形式.一般由函数方程出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法.
例2.3.1 对任意正整数，令定义为的各位数字和的平方，求.
分析 本题是迭代的简单运用题，由“定义为的各位数字和的平方”入手，可以出11与函数方程以及函数值之间的关系，结合数列相关知识通过次迭代从而求解.
解 由已知有 ，
，
，
，
，
，
函数的定义域怎么算…
从而当为大于3的奇数时，
，
当为大于3的偶数时，
，
故
.
例2.3.2 设定义在自然数集上，且对任意，都满足,，求.
解 令,得
，
再依次令,…, ,有
，
，
…
，
，
依次代入，得
…，
所以
，.
前面的例2.3.1仅是迭代的入门题，可以直接根据函数方程出函数值之间的关系，然后通过次迭代进行求解.而在迭代问题中，很大一部分题目并不是仅借助迭代的思想来解决的，而是综合所学知识进行求解.如例4.2就是赋予一些特殊值，再利用递推法简化问题，从而求解.
2.4待定系数法
待定系数法适用于所求函数是多项式的情形，且已知所求函数解析式的类型，可先设出一个含有特定系数的代数式，然后利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）而求出待定系数的值，或者消除这些待定系数，使问题得以解决.
例 2.4.1 已知是一次函数，且,求.
解 因为是一次函数，不妨设，又因为
，
所以
,
即
，
于是有
，
.
解这个方程组得
，或者 ，
， .
所以
或.
本题考虑到是一次函数，故可设出的一般形式，再由条件代入进而对应求出,.这属于较简单的待定系数法应用，而对于关系有很多次的就另当别论了.
例 2.4.2 已知是一次函数，且
10次迭代
…，
求.
分析 观察本题，是一次函数且函数方程是一个10次迭代的方程，要怎样进行思考呢？只能依据题中最基本的条件进行解决，故而给出如下解法：
解 设，则
，
，
…
….
因为
，
所以
，
….
解方程组得
，或,.
故所求的一次函数为
或.
观察题中条件，问题的难度比例2.4.1的增加了许多，这又怎么做呢？万变不离其宗，仍采用待定系数法进而出规律，并结合等比数列相关性质而求得,，但要注意解决这类问题时千万不要漏根.
2.5 数学归纳法
数学归纳法主要适用于定义域是正整数的函数方程，其解题方法是通过对,,,…的具体计算，加以概括抽象，提出对的解析式的一个猜想，然后用数学归纳法对猜想进行证明.
根据已知条件，首先运用赋值法求出函数在某些点的特殊值，再猜想的表达式，最后用数学归纳法证明此猜想.
例 2.5.1 函数的定义域为正整数集，值域为非负整数集，所有正整数,满足或1; ,, ,求.
解 由或1，而
，
所以
，
由
或1，
得
或1，
因为，所以
，
同理，可推得
，…
已知，猜想,.
下面用数学归纳法证明.
（1）由上可知，,,时，结论成立.
（2）假设对小于的一切自然数，结论成立.则
，
即
，
如果，则
，
与题设矛盾，所以
，
显然，有
.
若，则
，
与题设矛盾.所以.
例 2.5.2 已知，求.
解 由，因此有
，
，
猜想.
下面用归纳法证明.
（1）显然时，猜想成立.
（2）假设对成立，即
，
则
.
综合（1）、（2），对任意，有
.
数学归纳法一般适用于证明题，但有时候不排除这类规律、猜想进而证明猜想的问题.遇到这种问题的时候，首先要准规律，证明起来也就会很轻松了.
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