第5讲 基本初等函数、函数与方程
[考情分析]　1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．
基本初等函数(Ⅰ)
本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．
函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．
掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．
函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，
也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．
【知识要点】
1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)
(1)定义域为R，值域为R；
(2)图象如图所示，为一条直线；
(3)k＞0时，函数为增函数，k＜0时，函数为减函数；
(4)当且仅当b＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数．
(5)函数y＝kx＋b的零点为
2．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
通过配方，函数的解析式可以变形为
(1)定义域为R：
当a＞0时，值域为；
当a＜0时，值域为；
(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为．
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．
(3)当a初等函数图像大全表格总结＞0时，是减区间，是增区间；
当a＜0时，是增区间，是减区间．
(4)当且仅当b＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．
(5)当判别式＝b2－4ac＞0时，函数有两个变号零点；
当判别式＝b2－4ac＝0时，函数有一个不变号零点；
当判别式＝b2－4ac＜0时，函数没有零点．
3．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)
(1)定义域为R；值域为(0，＋∞)．
(2)a＞1时，指数函数为增函数；0＜a＜1时，指数函数为减函数；
(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．
4．对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)，
对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数．
(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．
(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；
(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，
(4)函数的零点为1．
5．幂函数y＝xα(α∈R)
幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；
(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；
(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．
要注意：
因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．
根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．
6．指数与对数
(1)如果存在实数x，使得xn＝a (a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．
负数没有偶次方根．
；
(2)分数指数幂，
；
n，m∈N*，且为既约分数)．
，且为既约分数)．
(3)幂的运算性质
aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，a0＝1(a≠0)．
(4)一般地，对于指数式ab＝N，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为logaN，
即b＝logaN(a＞0，且a≠1)．
(5)对数恒等式：＝N．
(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；
底的对数是1，1的对数是0．
(7)对数的运算法则及换底公式：
；
；
.(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0).
【复习要求】
1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，这五个具体的幂函数的图象与性质．
2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；
3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象
在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法．
【知识要点】
作函数图象最基本的方法是列表描点作图法．
常用的函数图象变换有：
1．平移变换
y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得．
y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得．
2．对称变换
y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得．
y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得．
3．翻折变换
y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．
y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合．
【复习要求】
1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．
2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．
3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题．
考点一　基本初等函数的图象与性质
核心提炼

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