对数运算及对数函数
一、考点、热点回顾
知识点一、对数及其运算
我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.
(一)对数概念:
1. 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b.其中a叫做对数的底
数，N叫做真数.
2. 对数恒等式：
N
a N
N
a
b
N
a
b
a
=
⇒
对数函数运算法则公式=
=
log
log
}
3. 对数具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即；
(2)1的对数为0，即；
(3)底的对数等于1，即.
(二)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数，
.
(三)对数式与指数式的关系
由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
(四) 积、商、幂的对数
已知），且（010log ,log >≠>N a a N M a a
(1)N M MN a a a log log )(log +=；
推广：)0(log log log )(log 212121>⋯+⋯++=⋯⋯k k a a a k a N N N N N N N N N
(2)N M N
M a a a log log log -=；  (3)M n M a n a log log =.
(五)换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a ＞0， a ≠1， M ＞0的前提下有:
(1))(log log R n M M n a a n ∈=
(2))1,0(log log log ≠>=c c a
M M c c a    当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=
b b a a a
b b a .
知识点二、对数函数
1. 函数x y a log  (a ＞0，a ≠1)叫做对数函数.
2. 在同一坐标系内，当a ＞1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0＜a ＜1时，对数函数的图
象随a 的增大而远离x 轴.(见图1)
(1)对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R
(2)对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的图像过点(1，0)  (3)当a ＞1时，
三、规律方法指导
容易产生的错误
(1)对数式log a N=b 中各字母的取值范围(a ＞0 且a ≠1， N ＞0， b ∈R)容易记错.
(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：
一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log 2(-3)(-5)=log 2(-3)+log 2(-5)是不成立的，因为虽然log 2(-3)(-5)是存在的，但log 2(-3)与log 2(-5)是不存在的.
二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：
log a (M ±N)=log a M ±log a N ，
log a (M ·N)=log a M ·log a N ，
loga .
(3)解决对数函数y=log a x (a ＞0且a ≠1)的单调性问题时，忽视对底数a 的讨论.
(4)关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
以1为分界点，当a ， N 同侧时，log a N ＞0；当a ，N 异侧时，log a N ＜0.
三、典型例题
类型一、指数式与对数式互化及其应用
1.将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
举一反三：
【变式1】求下列各式中x的值：
(1)(2)(3)lg100=x (4)
类型二、利用对数恒等式化简求值
2．求值：
7
log 13 3
举一反三：
【变式1】求
N
c
b c
b
a
a log·
log
·
log
的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
类型三、积、商、幂的对数
3.已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.
(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15
举一反三：
【变式1】求值
(1)1log 864log 325log 21025-+              (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【变式2】已知c b a ==53，211=+b a ，求c 的值.
【变式3】设a 、b 、c 为正数，且满足222c b a =+.求证：1)1(log )1(log 22=-++++b c a a c b .
【变式4】已知：a 2+b 2=7ab ，a ＞0，b ＞0. 求证：)lg (lg 2
13lg b a b a +=+.
类型四、换底公式的运用
4.(1)已知a y x =log ， 用a 表示xy y
x log ；      (2)已知p x n x m x c b a ===log ,log ,log  求x abc log

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