20XX 年高考数学第一轮复习---指数与对数函数
一、指数与对数运算：  （一）知识归纳： 1．根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*
∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若
a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作
)0(>±a a n .
②性质：1）a a n
n =)(；  2）当n 为奇数时，a a n n =；
3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)
0()
0(||a a a a a a n
2．幂的有关概念：
①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n
( N *， 2）)0(10
≠=a a ，                    n 个 3）∈=-p a
a
p p
(1
Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N *  且)1>n  ②性质：1）r a a a a s
r s
r
,0(>=⋅+、∈s Q ），
2）r a a
a s
r s
r ,0()(>=⋅、∈s  Q ），
3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r
r
r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用.
3．对数的概念：
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b
=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数.
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，
2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln  ②基本性质：
1）真数N 为正数（负数和零无对数），  2）01log =a ， 3）1log =a a ，  4）对数恒等式：N a
N
a =log
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N
M
a a a
log log log -=； 3）∈=n M n M a n
a (log log R ）.
④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a
1）1log log =⋅a b b a ，  2）.log log b m
n
b a n
a m =
（二）学习要点：
1．b N N a a N a b n ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许
多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底.
2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.
【例1】解答下述问题： （1）计算：
25.021
21
3
2
5
.032
0625.0])32.0()02.0()008.0()9
45()833[(÷⨯÷+--- [解析]原式=4
1
322132)10000
625(]102450)81000(
)949()278[(÷⨯÷+- 92
2)2917(21]10
24251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=
（2）计算1
.0lg 2
1
036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2
3--+⋅.
[解析]分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2
=++=++；
分母=4100
6
lg 26lg 101100036lg
)26(lg =-+=⨯-+； ∴原式=
4
3
. （3）化简：
.
)2(248533233
23
23323
134a
a a a a
b a
a
ab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--
[解析]原式=
5
131212
13231312
313
13
12
313
313
313
1)()
(2)
2()2()(])2()[(a a a a a
b a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷
+⋅+- 23
23
16
1653
13
13
131312)2(a a a a a
a b
a a
b a a =⨯⨯=⨯
-⨯
-
=.
（4）已知：36log ,518,9log 3018求==b
a 值. [解析],5log ,51818
b b
=∴=
a
b a b -+-=-+-+=++=
∴22)
2(2)3log 18(log )9log 18(log 16log 5log 2log 18log 36log 181818181818181830.
[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.
【例2】解答下述问题：
（1）已知1log 2log log ≠=+x x x x b c a 且， 求证：b
a ac c log 2
)
(=
[解析]0log ,1,log log 2log log log ≠∴≠=+
x x b
x
c x x a a a a a a  ，
2log log )1(log log 2log 2log 11c b c c b
c a a a a a a ⇒+=⇒=+
∴
=b b
a a a a a ac c ac
b a
c log 2log )()
(log log )(log =⇒=⋅
（2）若
0lg lg )][lg(lg lg lg lg lg lg 2
=-++++y
x y x y y x x y x ，求)(log 2xy 的值. [解析]去分母得0)][lg()lg (lg 2
2
=-++y x y x
对数函数运算法则公式
⎩⎨
⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=+∴1
1
0)lg(0lg lg y x xy y x y x ， x ∴、y -是二次方程012=--t t 的两实根，且y x y x y x >≠≠>>,1,1,0,0，解
得2
5
1±=
t ， 0)(log ,2
1
5,2
1
5,02=+∴-=+=
∴>y x y x x  [评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多从这种练习中积累经验. 二、指数函数与对数函数
（一）学习要点： 1．指数函数：
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x
且称指数函数， 1）函数的定义域为R ，  2）函数的值域为),0(+∞，
3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数.
②函数图像：        1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴），
3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x
x
a y a y -==与的图象关于y 轴对称.
③函数值的变化特征：
10<<a
1>a
①100<<>y x 时， ②10==y x 时， ③10><y x 时 ①10>>y x 时， ②10==y x 时， ③100<<<y x 时，
2．对数函数：
①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞，      2）函数的值域为R ， 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数，
4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x
且互为反函数.
②
1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，
2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）.
4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a
a 1log log ==与的图象关于x 轴对称.
③函数值的变化特征：
（二）学习要点：
1．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.
2．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.
3．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.
4．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.
10<<a  1>a  ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010><<y x 时. ①01>>y x 时， ②01==y x 时， ③100<<<y x 时.

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