核心素养之数学运算
 数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。
    数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。
  数学运算主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。
一、运算能力的特征
    运算能力的主要特征：正确、灵活、合理、简洁。
    首先，要保证运算的正确，为此必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据。
然后，在适度训练、逐步熟悉的基础上，清楚的意识到实施运算中的算理。不断总结正反两方面的经验和教训，逐步减少在实施运算中思考概念、法则、公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算顺畅，力求避免错误。
      多题一解和一题多解在运算中十分普遍，即一般性与特殊性行往同时出现在实施运算的过程中，多题一解休现了运算的普适性，一题多解休现了运算的灵活性。二者的交替出现，相互比较，循环往复，不断优化，促使学生越来越感悟到：实施运算，解决问题，不仅要正确，而且要灵活、合理、简洁。
      估算也是种重要的运算技能，估算能力也是运算能力的特征之一，课标在每学段的学段目标和课程内容中，都强调了估算，并提出了具体的要求。所以我们要充分重视估算。进行估算需要经过符合逻辑的思考，需要有定的依据，需要掌握一点的方法，积累一定的经验，需要避免出现过大的误差，需要使估算结果尽量接近实际情境，能对实际问题做出合理的解释。
二、运算能力的培养与发展
运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随着数学知识的积累和深化，从简单到复杂、从具体到抽象，有层次的发展。
1、由具体到抽象
      第一学段（1－3年级）：理解万以内的数，初步认识小数和分数，初步学习整数的四则运算，以及简单的分数和小数的加减运算；
第二学段（4－6年级）：认识万以上的数，进一步学习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律；
第三学段（7－9年级）：掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；掌握合并同类项和去括号的法则；进行简单的整式加、  城、乘运算及因式分解，利用乘法公式进行简单计算；进行简单的分式加、减、乘、除运算；了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算，及简单的四则运算；解一元一次方程、可化为一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加减消元法解二元一次次方程组；用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；解数字系数的一元一次不等式。
    第四学段（高中）：掌握集合的交、并、补等运算；命题的或、且、非等运算；指数、对数的运算；三角函数的运算；平面向量的线性运算，向量的数量积；一元二次不等式的解法，线性规划问题、基本不等式；数列的通项与求和； 算法设计、概率；异面直线的夹角，线面角，几何体的表面积和体积；圆锥曲线的方程， 直线与圆锥曲线的位置关系；排列，组
合与二项式定理；参数方程；矩阵等。
      无论是学习和掌握数与式的运算，还是解方程和解不等式的运算，开始总是和具体事物相联系的，之后逐步脱离具体事物，抽象成数与式、方程与不等式的运算。至高中阶段进行更为抽象的符号运算。运算思维的抽象程度，是运算能力发展的主要特征之一。
  2、由法则到算理
      学习和掌握数与式的运算、解方程和不等式的运算，在反复操练、相互交流的过程中，不仅会逐步形成运算技能，还会引发对“怎么算？”“怎么算的好？”“为什么要这样算？”等系列问题的思考。这是有法则到算理的思考，是运算从操作的层面提升到思维的法面，这是运算发展的重要内容。
 3、由常量到变量
     函数在第三学段是重要的内容，函数概念的引入，运算对象从常量提升到变量。运算的内容更加丰富多彩，《课程标准》中不仅有：  “能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值”“ 会利用待定系数法确定一次函数的表达式”“会用配方法将数字系数的
二次函数化为顶点式，并能由此得到二次函数图象的定点坐标”等直接进行运算的内容;还包括与运算密切相关的内容，如“能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析”“用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系”“结合对函数关系的
分析，能对变量的变化情况进行初步讨论”。
     由变量到常量，表明运算思维产生了新的飞跃，运算能力也发展到了一个新 的高度。
  4、由单向思维到逆向、多向思维
     逆向思维是数学学习的一个特点。在第学段，《课程标准》规定“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，休会加与减、乘与除的互逆关系。”在第三学段，又增加了乘方与开方的互逆关系。到高中阶段，更有指数与对数、微分与积分等互逆关系。运算的互逆关系，是逆向思维的重要表现形式之。
      运算也是一种推理， 在实施运算分析和解决问题的过程中，“由因导果”和“执果索因”的推理模式也是经常要用到的，表现为有效探索运算的条件与结论，已知与未知的相互联系及相互转化，思维方式是生逆的，更是相铺相成的。
     在实施运算的过程中，还会遇到多因素的情况，各个因素相互联系、相互制约、有相辅相成，更需要不同的思维方向、不同的解题思路和不同的解题方法，需要择优选用。这是运算思维达到一个新高度的重要标志， 是运算能力的培养与发展的高级阶段。
      由于思维定势的消极作用，逆向思维和多向思维的难度较大，在实施运算的过程中，对分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序等各个环节都要引导学生进行周密的思考，力求使运算符合算理，达到正确熟练、灵活多样、合理简洁，实现运算思维的优化及运算能力的逐步提高。
三、高中运算能力的培养
运算能力反映一个学生的综合能力。运算是指在运算律的指导下对具体的数、式进行变形的演绎过程。高中数学运算包括数的运算、式的恒等变形、方程和不等式的同解变形、初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算。
    运算能力反映在运算的准确、合理和敏捷的程度上。它主要表现在灵活运用运算的法则、性质、公式，善于观察、比较、分析、综合、概括、推理等方面。是与记忆能力、理解能力
、推理能力、表达能力以及空间想象能力等其它认识能力相互渗透、相互支撑形成的一种综合的数学能力。
  依运算的抽象度，对运算可作如下划分
  平凡运算：1、法则运算；2、公式运算；3、定理运算；4、定义运算
非平凡运算：1、分析与综合运算；2、抽象与归纳运算；
            3、类比与联想运算；4、构造与建模运算
    以上划分只是归纳出常见的运算形式，依运算思维的抽象度，将其划分为两个不
同的层次便于把握运算能力的层次要求。两类的主要区别在于前者体现运算的“机
械”性，后者体现了运算的深刻性和一定的创造性。
    由上可见，运算是思维的“载体”，运算能力体现思维能力，是数学素质的一面
镜子。
（一）运算能力差的原因
    数学的理论是数学运算的基础和依据，只有正确理解有关的数学概念，切实掌握
有关的数学定理、公式、法则，才能到合理的算法、算理。才能取得正确迅速的运
算结果。
（1）概念、公式、法则遗忘，是造成运算不正确的直接原因
为此，在教学中应注意：
①向学生讲明记牢、记准概念、公式、法则的重要性。学习数学和学习其它任何一门学科 一样，都离不开记忆。没有一定的记忆能力，就不可能有知识的积累，更不可能有知识的发展与应用。
  ②教学中注意以旧引新，以新促旧，新旧联系，相得益彰，使学过的知识经常不断地在学生的头脑中再现，增加记忆次数，促进记忆效果。
     高中数学内容多、课时紧，教材中各部分内容相对独立，反复次数较少，学生容易遗忘。所以我们应有意识地帮助学生温故知新。在选择例题、布置习题时要精心筛选，也可以采取课外兴趣小组、竞赛、每周几题等形式使学生把旧知识与新内容有机地结合起来，构成知识网络。
  ③在讲投概念、公式、法则时，让学生在理解的基础上，用白己的话准确地表达出来，提高表达能力，并与学生道总结记忆这些概念、公式、法则的方法，使学生 记忆得法，提高记忆能力。
 （2）概念不清楚、公式、法则含混，是造成运算不正确的主要原因
  ①讲授新课时，尽量做到由具体抽象，由感性到理性，遵循认识规律，自然地形成概念，导出公式、法则，弄清公式和法则的来龙去脉，明确条件是什么，结论是什么，在什么范围内使用，并通过课堂练习及时巩固，使学生在头脑中建立起清晰的第一印象。
  ②对相关的概念，易混的公式、法则，通过列表，图示等方法进行对比，加以区别，澄清模糊混淆的东西，提高理解力。
  ③及时回收教学效果的反馈信息，一旦发现典型错误，就立即通过正反两方面的例子进行纠正，使错误不形成定势。
（3）死套公式，是造成运算错误的又一原因
      知识学得死，公式、 法则不能灵活运用，而造成运算错误。为避免此类错误，教学中应注意：
①透彻地阐明概念的本质属性，深刻分析公式、法则的实质，讲明公式使用的条件、范围。对公式、法则的使用要做到正用、反用、变形用。
②在习题课、复习课中，收集一些灵活性强、启发性大、综合性好、学生通过努力能解答的习题作为练习题，培养学生思维能力的灵活性、敏锐性和深刻性等品质。
（4）基础不扎实
    对数函数运算法则公式数学运算有层次性，运算能力的发展总是从简单到复杂，从低级到高级， 从具体到抽象，有层次地发展起来的。简单的分数运算不过关，那么进行分式的代数运算就 很困难。因此，必须重视基本功训练，切不可轻视那些简单的、低级的运算。
  （二） 总结运算规律、掌握运算技巧、提高速度
 （1）掌握数学运算的程序，才能合理、迅速地完成运算
  比如求任意角三角函数值一般要按这样的程序：负角三角函数→0°~ 360°的三角函数→0°~90°的三角函数→求值。这样，每一步该做什么，就有章可循，避免乱猜乱碰绕弯子，影响运算速度。因此，教学中应及时总结解题规律，进行严格的、有条理的训练，提高运算的合理性和白觉性，从而提高运算的准确性和迅速性。
  （2）数学运算富有技巧性，没有形成熟练的技能与技巧，就不能简捷地完成运 算
     在教学中首先把精力用在掌握系统的运算规律上，同时也应当对常用的技能技巧问题给以足够的重视。例如常用的“换元法”、“形数结合法”、三角中“1”的变换、解析几何中参数选择等，技巧性都很强。要鼓励学生有意识地收集、归纳，鼓励他们一题多解，多题一解，积累经验，形成技巧。
   （三）运算能力重在长期培养

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