第五章 一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
5.1.1　变化率问题
1．平均变化率
对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1.
(2)函数值的改变量：Δy＝f (x2)－f (x1)．
(3)平均变化率＝＝.
思考：Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？
[提示]　Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率可正可负可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝ .
3．曲线的切线斜率
(1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率．
(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率 就是y＝f (x)在x0处的切线的斜率即k＝ .
求平均变化率
【例1】　(1)如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为(  )
A．　    B．－  　C．2  　D．－2
(2)函数y＝－2x2＋1在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为________．
(1)B　(2)－4－2Δx　[(1)＝＝＝－.故选B.
(2)Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)，
所以平均变化率为＝＝－4－2Δx.]
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)；
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
求瞬时速度
[探究问题]
1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度？
[提示]　Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.
2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
[提示]　当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
【例2】　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[思路探究]　
―→
[解]　∵＝
＝＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
[解]　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝＝1＋Δt，
∴ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
[解]　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝
＝(2对数函数运算法则公式t0＋1)＋Δt.
＝ (2t0＋1＋Δt)
＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，
∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
求运动物体瞬时速度的三个步骤
设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s t ，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：
1 写出时间改变量Δt，位移改变量Δs Δs＝s t0＋Δt －s t0  .
2 求平均速度：＝.
3 求瞬时速度v：当Δt→0时，→v 常数 .
求函数在某点的切线斜率及方程
【例3】　(1)已知函数y＝x－，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．
(2)求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程．
[思路探究]　(1)x＝1处的瞬时变化率即为斜率．
(2)―→―→
(1)2　[∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴斜率k＝ ＝ ＝1＋1＝2.]
(2)[解]　显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为

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