函数、导数及其应用
导  数
【考纲知识梳理】
一、变化率与导数、导数的计算
1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率：函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为，若对数函数运算法则公式，则平均变化率可表示为。
2、函数y=f(x)在x=x0处导数：（1）定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
为y=f(x)在x=x0处导数，记作
（2）几何意义：函数f(x)在点x处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)上点（，）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0=(x=x0).
3、函数f(x)的导数：称函数为函数f(x)的导函数，导函数有时也记作。注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：
方法一：直接使用定义；;
方法二：先求导函数，再令x=x0求
4、基本初等函数的导数公式
函数
导数
5、导数运算法
导数运算法则
1．
2．
3．
6、复合函数的导数：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。
二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题
1、函数的单调性与导数：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。如果，那么函数在这个区间上是常数函数。注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。
2、函数的极值与导数：（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数 f(x) 在点 x0 处连续时，判断 f(x0)  是极大（小）值的方法是：（1）如果在 x0附近的左侧 f’(x)>0  ，右侧f’(x) <0 ，那么  f(x0) 是极大值．（2）如果在x0附近的左侧 f’(x) <0  ，右侧f’(x) >0 ，那么  f(x0) 是极小值．注：导数为0的点不一定是极值点
3、函数的最值与导数：函数f(x)在[a,b]上有最值的条件：如果在区间[a,b]上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
4、生活中的优化问题：解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案
【热点、难点精析】
一、变化率与导数、导数的运算
（一）利用导数的定义求函数的导数
1、相关链接
（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③得导数，简记作：一差、二比、三极限。
（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。
2、例题解析
〖例1〗求函数y=的导数。
解析： ，
=-。
〖例2〗一质点运动的方程为。
（1） 求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；
（2） 求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）
分析（1）平均速度为；
（2）t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。
解答：（1）∵
∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,
.
（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度
求导法：质点在t时刻的瞬时速度
，当t=1时，v=-6×1=-6.

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