第5节　指数、对数
知 识 梳 理
1.根式与指数幂的运算
（1）根式
①概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
②性质：（）n＝a（a使有意义）；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
（2）分数指数幂
①规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）；正数的负分数指数幂的意义是a－＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
②有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；（对数函数运算法则公式ar）s＝ars；（ab）r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2.对数与对数的运算
（1）对数的概念
如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数的性质
①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaab＝b（a>0，且a≠1）.
（3）对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga（MN）＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM（n∈R）.
（4）换底公式
logbN＝（a，b均大于零且不等于1）.
已知a，b，c，d，M，N都满足条件，则：
（1）logamMn＝logaM（m，n∈R，且m≠0）；
（2）logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
诊 断 自 测
1.（必修1P52例5改编）化简[（－2）6]－（－1）0的结果为（  ）
A.－9  B.7  C.－10  D.9
答案　B
解析　原式＝（26）－1＝8－1＝7.
2.若loga2<logb2<0，则（  ）
A.0<a<b<1  B.0<b<a<1
C.a>b>1  D.b>a>1
答案　B
解析　loga2<logb2<0⇔<<0⇔lg b<lg a<0，故0<b<a<1.故选B.
3.×＋8×－＝    .
答案　2
解析　原式＝×1＋2×2－＝2.
4.计算：log2＝    ；2log23＋log43＝    .
答案　－　3
解析　log2＝log2－log22＝－1＝－；
2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.
5.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝    ，（2α）β＝    .
答案　　2
解析　由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，（2α）β＝2αβ＝2.
6.（2021·杭州质检）设a＝log23，b＝log38，则2a＝    ；ab＝    .
答案　3　3
解析　由a＝log23得2a＝3，ab＝log23×log38＝×＝＝＝3.
考点一　指数幂的运算
【例1】 化简：（1）（a>0，b>0）；
（2）＋（0.002）－－10（－2）－1＋（－）0.
解　（1）原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1.
（2）原式＝＋－＋1
＝＋500－10（＋2）＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
感悟升华　（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.
（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】 化简求值：
（1）＋2－2×－（0.01）0.5；

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