学生：        科目：数学 教师：          第  阶段第  次课 2013年  月  日 课    题：对数及运算
授课内容：
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，
记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）
说明： ○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
○2 x N N a a x =⇔=log ；
○3 注意对数的书写格式．  N a log
两个重要对数：
○1 常用对数：以10为底的对数N lg ；
○2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．
指数式与对数式的互化
b a ＝ N ⇔log a N ＝ b
（二）对数的运算性质
如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：
○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；
○2 =N M a log M a log －N a log ；
○3 n a M log n =M a log  )(R n ∈．
注意：换底公式 a b b c c a log log log =
（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．
利用换底公式推导下面的结论
（1）b m n b a n
a m log log =；（2）a
b b a log 1log =． （四）例 题
例1、设a ，b ，c 都是正数，且3a =4b =6c ，那么（  ）
A 、=+
B 、=+
C 、=+
D 、=+
解：由a ，b ，c 都是正数，且3a =4b =6c =M ，则a=log 3M ，b=log 4M ，c=log 6M
例2、若a ＞1，b ＞1，p=，则a p 等于（  ）
A 、1
B 、b
C 、log b a
D 、a log b a
解：由对数的换底公式可以得出p==log a （log b a ）， 因此，a p 等于log b a ． 例3、设x=+，则x 属于区间（  ）
A 、（﹣2，﹣1）
B 、（1，2）
C 、（﹣3，﹣2）
D 、（2，3）
解：由题意，x=+=+=；
∵函数y=在定义域上是减函数，且，∴2＜x＜3．
例4、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（）
A、1
B、2
C、5
D、1或5
分析：由题意可令3x=t，（t＞0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可．选D
例5、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）
A、1
B、4
C、
D、或4
解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），
∴x2+4y2﹣4xy=xy ∴（x﹣y）（x﹣4y）=0 ∴x=y（舍）或x=4y ∴=4
对数函数运算法则公式
例6、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）
A、仅有一根
B、有两个正根
C、有一正根和一个负根
D、有两个负根专题：数形结合。
例7、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（）
A、lg7•lg5
B、lg35
C、35
D、
分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得α•β的值．α•β的值是．
例8、（3+2）=﹣2；log89•log2732=；（lg5）2+lg2•lg50=1．解：==，所以
=﹣2；
log89•log2732==
（lg5）2+lg2•lg50=（lg5）2+lg•lg5×10=（lg5）2+（1﹣lg5）•（1+lg5）=1
故答案为：﹣2；；1
例9、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是{0}．
解：令t=2x+2﹣x＞0，则4x+4﹣x=t2﹣2
原方程可以变为t2﹣2t=0，故t=2，或者t=0（舍）故有2x+2﹣x=2即（2x）2﹣2×2x+1=0∴（2x﹣1）2=0 ∴2x=1即x=0
例10、若α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．
分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，利用根与系数的关系得lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值．
解：原方程等价于lg2x﹣2lgx﹣2=0 ∵α，β是方程的两个根
所以lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2
所以=-4
即logαβ+logβα=﹣3
例11、解关于x的方程．
2x=2．
（1）log
（x+a）
（2）log4（3﹣x）+（3+x）=log4（1﹣x）+（2x+1）；
（3）+=6；
（4）lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣3）=1．

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