函数（2）学案
                            主备人：_________    编号：___005______
【本课概论】
1、对数的定义：在方程中，已知底数和幂，定义指数
2、指数函数，对数函数，幂函数
【概念应用】
1、利用对数的降次特征化简大数据运算。
2、利用指数函数、对数函数和幂函数刻画数学模型。
【知识点及习题剖析】
对数
1、对数的定义与转化。
  在中，a叫做底数，N叫做真数，该式读作“x等于N以a为底的对数”
  其中a>0且a≠1，真数N>0（若N=0或N<0则无意义）
  指数式与对数式可相互转化。
  例：将指数式，对数式分别转为对数式和指数式。
解：①    ②
剖析：指数式和对数式底数相等，真数与幂相等，指数与对数相等，不要搞混。
2、对数的运算法则（请自行用对数的定义推导）。    推导过程：
  公式：①
        ②
       
        ③
           
        ④
例1：求的值。
解：由公式②④③⑤得
原式=
剖析：合理运用公式。记住从对数里提为降次，放到对数里为升次。
*例2（应用）：已知   
        求的近似值。
解：，
  （实际724左右，误差2%以内）
剖析：合理运用对数及编制好的对数表可以极大地简化问题。
3、常用对数与自然对数。
  定义：，称为常用对数。
        ……例1：求
  解：
剖析：lg和ln只是一种简写的记法，对数公式完全可以套用。
例2：计算
解：
剖析：遇到与lg有关的问题，想尽一切办法将真数靠近10的幂（尤其是看到2和5）。
      注意辨别：
4、换底公式（请同学们自己证明）
指数形式：    对数形式：
例：计算
解：类推得原式=
剖析：当参与计算的若干个对数的底数不同时，应用换底公式将其变为同一个底数然后计算。
    由换底公式有及（待会习题要用）
指数函数、对数函数和幂函数
指数函数
1、指数概念的推广。
  由 得，
  由此可定义
  对于p为无理数的情况，定义，即无限接近于该数的有理数。
例：求
对数函数运算法则公式
解：
剖析：合理运用根号和分数次幂的转化，将若干次幂转为一次幂运算。
      指数的运算法则在实数范围内通用。
2、指数函数的定义、定义域、值域。
  定义：形如的函数称为指数函数，其中。
  由定义易推知，指数函数的定义域为R，值域为(0,+∞）
例：下列函数中，值域不为R+的是（ D ）
（A）y=5      （B）y=()1-x              （C）y=        （D）y=
解：前三项都为指数函数，且指数的定义域都为R，因此其值域为(0,+∞）  （第三项中对
    (0,+∞）开根号仍为(0,+∞））。排除法可知选D。
剖析：注意指数函数的值域为(0,+∞）当且仅当定义域为R！因此看到指数函数一定要先判
      断指数的定义域再解答。
3、指数函数的图象与性质。
  利用描点法作图可得：
 
  观察图象有以下结论：
  ①指数函数不为奇函数、偶函数。
    当a>1时，函数在R内单调递增；当0<a<1时，函数在R内单调递减。
  ②所有的指数函数都经过(0,1)（想想这是为什么？）
  ③指数函数的图像始终在x轴上方，即值域为(0,+∞）。
  当a>1时，函数向左收敛于0，向右发散；当0<a<1时，函数向右收敛于0，向左发散。
例：已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图像必定不经过（A）
    (A)第一象限              (B)第二象限
(C)第三象限              (D)第四象限
解：首先观察0<a<1，得知函数图像在R上单调递减。
然后观察b<-1，因为指数函数必定经过(0,1），所以该函数与y轴交点必定在负半轴。
考虑到它是减函数，因此当x>0时，y必定小于0，即函数不可能经过第一象限。
剖析：一定要分清a的范围。不同的a对应的图象的增减性、敛散性不同。
      指数函数的图象经过点（0,1）也是常用的隐含条件之一。
*4、指数函数的导数。
  一般地，指数函数的导数为（证明过程略）
  当a=e时，函数的导数为它本身，即
这是自然对数许多神奇性质中的一个，有许多的应用。
对数函数
1、对数函数的定义、定义域与值域。
  形如的函数称为对数函数，其中a>0且a≠1。
  由对数函数的定义可推知：对数函数定义域为（0，﹢∞），值域为R。
  特别地，对数函数和指数函数互为逆函数。即若
  则有
2、对数函数的图象及其性质。
  用描点法作出对数函数的图象。
观察图象可得对数函数的几个性质：
①对数函数不为奇函数、偶函数。
  当a>1时，函数在(0,+∞）内单调递增；当0<a<1时，函数在(0,+∞）内单调递减。
②所有的对数函数都经过(1,0)（这又是为什么？）
③对数函数的图像始终在y轴右方，即定义域为(0,+∞）。
对数函数在趋于0时或趋于+∞时皆发散。
④底数相同，指数函数的图象与对数函数的图象关于y=x对称（逆函数的特征）
例：已知函数(0<a<1)在[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，求a的值。
解：由0<a<1可知f在区间[a,2a]上是减函数，故x=a处即为最大值，x=2a处为最小值。
代入得f(a)=1，，即，解得
考虑到a>0，解得。
剖析：同样关注指数函数中a的取值。不管做什么题目，当看到指数函数的时候，首先要想
      到定义域为正实数集！（这点非常重要，因为这涉及到复杂函数中整个函数的定义域）
*3、对数函数的导数。
一般地，对数函数的导数为（证明过程略）
当a=e的时候，函数的导数为
幂函数
1、幂函数的定义、定义域、值域与图象。
  形如的函数称为幂函数。
  幂函数的图象、定义域与值域随a的不同而不同。下面列出的是其中常见的几种：
  观察图象可以发现，所有的幂函数都过点（1,1）（为什么？）
例：函数在第二象限单调递增，求m的最大负整数。

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