高中数学 50 个快速解题的公式
1. 适用条 件
［直 线 过焦点 ］，必 有 ecosA=(x-1)/(x+1)    ，其 中 A 为直线 与焦点所 在轴夹 角 ，是 锐角。x 为分
离比，必 须 大于 1。
注：上 述公 式适 合一 切圆锥 曲线。如 果 焦点内 分(指 的是焦 点在所 截线段 上)，用 该公式 ;如 果 外分(焦点在所 截线段 延长 线 上)， 右边 为(x+1)/(x-1) ，其 他不变 。
2. 函数的周 期性 问题 (记忆 三 个)
(1)若 f(x)=-f(x+k) ， 则 T=2k;
(2)若 f(x)=m/(x+k)(m 不 为 0) ， 则 T=2k;
(3)若 f(x)=f(x+k)+f(x-k) ， 则 T=6k 。
注意点：a.周期 函数，周 期必 无限 b.周 期函数 未必存在 最小周 期，如 ：常 数函 数 。c. 周期 函 数加周期 函 数未 必是周 期函数， 如： y=sinxy=sin 派 x 相加不是 周期函 数。
3. 关于对称 问题 (无数 人搞 不 懂的 问题)总 结如 下
(1)若 在 R 上 (下 同 )满 足 ： f(a+x)=f(b-x) 恒 成 立 ， 对 称 轴 为 x=(a+b)/2
(2)函 数 y=f(a+x) 与 y=f(b-x) 的 图 像 关 于 x=(b-a)/2 对 称 ;
(3)若 f(a+x)+f(a-x)=2b ， 则 f(x) 图 像 关 于 (a ， b) 中 心 对 称
4. 函数奇偶 性
(1)对于 属 于 R 上的奇 函 数有 f(0)=0;
(2)对于 含 参函数 ，奇函数 没有偶 次方项 ，偶函数 没有奇 次方项
(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空
5. 数列 爆强定 律
(1)等差 数 列中： S 奇=na 中， 例 如 S13=13a7(13 和 7 为下 角标 );
(2)等差 数 列中： S(n) 、 S(2n)-S(n) 、 S(3n)-S(2n) 成 等差
(3)等 比 数 列 中 ， 上 述 2 中 各 项 在 公 比 不 为 负 一 时 成 等 比 ， 在 q=-1 时 ， 未 必 成 立
(4)等 比 数 列 爆 强 公 式 ： S(n+m)=S(m)+q2 mS(n) 可 以 迅速 求 q
6. 数列的终 极利 器，特 征根方 程
首先介绍 公 式： 对于 an+1=pan+q(n+1 为下 角标， n 为下 角标)，
a1 已 知 ， 那 么 特 征 根 x=q/(1-p) ， 则 数 列 通 项 公 式 为 an=(a1-x)p2 (n-1)+x ， 这 是 一 阶 特 征 根 方程的运用。
二阶有点 麻 烦，且 不常 用。所 以不赘述 。希 望同学们 牢记上 述公式。当 然这 种类型 的数列可 以构造(两边同时加数)
7. 函数详解 补充
1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外
2、复合函数单调性：同增异减
3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。 它有一个 对 称中 心，求 法 为二阶导 后导数 为 0，根 x 即为中 心横坐 标，纵 坐 标可以 用 x 带入 原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。
8. 常用数 列 bn=n× (22 n)求 和 Sn=(n-1) × (22 (n+1))+2 记 忆方法 前面减去 一 个 1，后面加 一个， 再整 体 加一个 2
9. 适用于标 准方 程(焦 点在 x 轴 )爆 强公式
k 椭 =-{(b2 )xo } /{(a2 )yo } k 双 ={(b2 )xo } /{(a2 )yo } k 抛 =p/yo 注：(xo ， yo) 均 为直线过 圆锥曲 线所 截 段的中点 。
10. 强 烈 推荐一 个两直 线 垂直 或平 行的必杀 技 已知直线 L1： a1x+b1y+c1=0 直线 L2： a2x+b2y+c2=0 若它们垂 直 ：(充要条 件)a1a2+b1b2=0;
若它们平 行 ：(充要条 件)a1b2=a2b1 且 a1c2≠a2c1[ 这个条件为了防止两直线重合) 注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀!
11. 经 典 中的经 典 相信邻项相消大家都知道。
下面看隔项相消：
对 于 Sn=1/(1 ×3)+1/(2 ×4)+1/(3 ×5)+ ⋯+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2    -1/(n+1)-1/(n+2)]
注 ：隔 项 相 加 保 留 四 项 ，即 首 两 项 ，尾 两 项 。自 己 把 式 子 写 在 草 稿 纸 上 ，那 样 看 起 来 会 很 清 爽以及整洁!
12. 爆 强△ 面积公 式 S=1/2 ∣ mq-np ∣其 中向量 AB=(m ，n)，向 量 BC=(p ，q) 注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题
13. 你知 道吗 ?空间立 体几何 中： 以 下命题 均错
(1)空间 中 不同三 点确定一 个平面
(2)垂直 同 一直线 的两直线 平行
(3)两组 对 边分别 相等的四 边形是 平行四 边形
(4)如果 一 条直线 与平面内 无数条 直线垂 直，则直 线垂直 平面
(5)有两 个 面互相 平行，其 余各面 都是平 行四边形 的几何 体是棱 柱
(6)有一 个 面是多 边形，其 余各面 都是三 角形的几 何体都 是棱锥 注：对初中生不适用。
14. 一 个 小知识 点 所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。
15. 求 f(x)= ∣x-1 ∣+∣x-2 ∣+∣x-3 ∣ +⋯+∣ x-n ∣(n 为 正整数 )的最 小值 答案为： 当 n 为奇数 ，最小值 为 (n2-1)/4 ，在 x=(n+1)/2 时取到;
当 n 为 偶数 时 ，最小 值为 n2/4， 在 x=n/2 或 n/2+1 时 取 到。
16. √〔 (a2+b2 )〕 /2 ≥ (a+b)/2 ≥√ aba≥b/(2a+b)(a 、b 为 正数， 是统 一 定义域 )
17. 椭 圆 中焦点 三角形 面 积公 式
S=b2 tan(A/2) 在 双 曲线 中： S=b2 /tan(A/2) 说明：适 用 于焦 点在 x 轴， 且标准 的圆锥
曲 线。 A 为两焦 半径夹 角。
18. 爆 强 定 理 空间向量三公式解决所有题目：cosA=|{ 向量 a.向量 b}/［向量 a的模×向量 b的模］
(1)A 为线 线夹角
(2)A 为 线 面 夹 角 (但 是 公 式 中 cos 换 成 sin)
(3)A 为面 面夹角注：以上角范围均为［0，派/2］。
19. 爆 强公式
12+22+32+ ⋯ +n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+    ⋯ +n23=1/4(n2)(n+1)2
20. 爆 强切线方 程记忆 方 法 写成对称 形式， 换一个 x，换 一个 y 举例说明 ：对于 y2=2px 可以写成 y×y=px+px 再 把 (xo ， yo) 带 入 其 中 一 个 得 ： y× yo=pxo+px
21. 爆强定 理
(a+b+c)2 n 的展开式［合并之后 ］的项数为：Cn+22 ，n+2 在下，2 在上
22. 转化思 想
切线长 l= √(d2-r2)d 表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而 d最小为圆心到直线的距离。 23 . 对 于 y2=2px
过焦点的互相垂直的两弦 AB、CD ，它们的和最小为 8p。 爆强定理的证明：对于 y2=2px ，设过焦点的弦倾斜角为 A 那么弦长可表示为 2p/ 〔 (sinA)2 〕，所以与之垂直的弦长为 2p/［(cosA)2 ］ 所以求和再据三角知识可知。
(题目的意思就是弦 AB 过焦点，CD过焦点，且 AB 垂直于 CD)
24. 关 于一个重 要绝对 值 不等 式的 介绍爆强
∣ |a|-|b| ∣≤∣a±b∣ ≤∣a ∣+∣b ∣
25. 关 于解决证 明含 ln 的不等式的 一种思路 举例说明 ：证明 1+1/2+1/3+ ⋯+1/n>ln(n+1) 把左边看 成是 1/n 求和 ，右边 看成是 Sn 。
解 ： 令 an=1/n ， 令 Sn=ln(n+1) ， 则 bn=ln(n+1)-lnn ， 那么只需 证 an>bn 即可，根 据定积分知识 画出 y=1/x 的图。 an=1× 1/n= 矩形面 积>曲线下 面积=bn 。当然前面要 证明 1>ln2 。 注：仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广，就 是把左边、右边看成是数列求 和，证面积大小即可。说明：前提是含 ln。
26. 爆 强简洁公 式
向量 a 在向量 b 上的射影是：〔向量 a×向量 b 的数量积〕/［向量 b 的模］。 记忆方法：在哪投影除以哪个的模
27. 初中常用三角函数公式说明一个易错 点
若 f(x+a)［a 任 意］为奇函 数 ，那 么得到的 结论是 f(x+a)=-f(-x+a) 〔等式 右 边不是 -f(-x-a) 〕 同理如果 f(x+a) 为偶函 数，可 得 f(x+a)=f(-x+a) 牢记
28. 离 心率爆强 公式
e=sinA/(sinM+sinN) 注：P为椭圆上一点，其中A为角F1PF2 ，两腰角为M，N
29. 椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值 问题。
比 如 x2/4+y2 =1 求 z=x+y 的 最 值 。
解 ： 令 x=2cosay=sina 再利 用 三 角 有 界 即 可 。 比 你 去 =0 不 知 道 快 多 少 倍 !
30. 仅 供有能力 的童鞋 参 考的 爆强 公式
和差化积
sin θ+sin φ =2sin[( θ +φ )/2]cos-[φ( )/2θ]sin -sθin φ =2cos[( θ +φ )/2]sin[( -φ )/θ2]cos θ+cos φ =2cos[
( θ +φ )/2]cos[( - φθ)/2]cos -θcos φ=-2sin[( θ +φ )/2]sin[( - φ )θ/2] 积化和差
sin αsin β =[cos(- βα)-co s( α +β )]/2cos αcos β =[cos( α +β )+-cβos)(]/2αsin αcos β =[sin( α +β )+sin( α-β )]/2cos α sin β =[sin( -αsin+(βα)- β )]/2
31. 爆 强 定理 直观图的面积是原图的√2/4 倍。
32. 三 角 形 垂 心 爆 强 定 理
(1)向量 OH=向量 OA+向量 OB+向量 OC(O 为三角形外心，H为垂心)

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