16世纪，丹麦数学家芬克(T.Fineke， 1561一1656)将纵影称为tangens，
这便是今天英文中tangeni一词的由来。冈特首次将横影称为cotangens，这便是
近日英文中cotangent一词的由来。
正割和余割首次出现于10世纪阿拉伯天文学家阿布·韦发(Abu’l一Wefa，
940一998)的著作中，但并无具体名称。阿布·韦发第一个使用了所有六种三角
函数。在欧洲，“seeant”一词最早为芬克所用;16世纪德国数学家毕蒂克斯(B.
Pitiseus， 1561一1613)则同时使用了“secant”和“cosecant”之名。
德国天文学家雷提库斯 (GJ.灿eticus，1514一1576)首次将三角函数看作角
(而非弧)的函数，并首次用比值来定义正切和余切函数，尽管他仍用直角三角
形三边来命名，将正弦、余弦、正割和余割分别称为高(perPendiculum)、底边
(占asis)和斜边“公夕口tenosa)。
L3研究问题
从研究背景上看，不同版本的课程标准对三角函数内容的要求各不相同，这
也导致了教材对三角函数内容的不同定义。教学过程中，老师对课程标准和教材
的不同理解和设计必然不同，有的老师以自己的方式去解释初中和高中三角函数
概念的不同。比如在教学实践中，有老师认为:“高中三角函数概念是对初中锐
角三角函数概念的扩展，新的概念既要与原概念吻合，又要有合理性”。但是数
学史的实际发展过程却不是如此锐角三角函数的目的是解三角形和三角计算，
而任意角的三角函数的研究是与圆周运动有直接关系，两者并不是特殊与一般的
关系。但是无论怎样，初中所学的锐角三角函数对高中学生学习三角函数有很大
的影响，学生到底是怎样理解三角函数的，是值得研究的问题。
对于三角函数的教学，全国高中课程标准要求学生能够利用单位圆进一步理
解任意角的三角函数，能够借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。而上海
课程标准中只要求学生能够利用任意角的三角比定义和单位圆的性质等，研究诱
导公式，再研究两角和与差的余弦、正弦、正切公式，对单位圆要求不高。中等
职业学校课程标准中对单位圆没有要求。单位圆、三角函数线是三角函数发展过
程中必需的内容，但是却成了学生学习的难点。
三角函数的教学过程中有很多问题需要联系三角函数的历史发展过程来解
16世纪以前，天文学家所用的三角函数都不过是一条线段而己，表1一1给出
了六种三角函数的起源 (Smith， 1925)。早期天文学家所关心的是圆弧所对的弦
长。显然，弦长与圆的半径有关。因此，将半径分割成若干等分(如60等分)，
每一份用来作为弦长的单位。公元前2世纪，古希腊天文学家伊巴谷(Hipparchus)
制作了历史上第一张弦表，可惜失传了。公元2世纪，古希腊天文学家托勒密(C
Rolemy，85?一 165?)制作了一张从1/2度到180度、每隔1/2度的所有弧的弦表。
公元6世纪，印度天文学家阿耶波多(Aryabhata，476一550)制作了每隔
3“45’的半弦表，阿耶波多称半弦为jy反。办反这个名称后来被阿拉伯人音译为j动a
2文伙燎述
纵观中外数学文献，研究三角函数内容的文章很多，大多集中在解题策略与
方法上。但是关于学生对此概念理解情况的研究文献较少。
2.1任恋角的三角西获
国外的相关研究认为三角函数在高中课程中是非常重要的课程，学好三角函
数是学习物理学、建筑学、测量学、工程学等科目的基础。而且，三角函数是与
代数、几何、图形推理相关联的最早的数学专题之一。三角函数是学习微积分前
的必学内容。遗憾的是，Blackett和Tan认为在学习三角函数的最初阶段充满不
愉快和困难。Breidenbaeh、nubinsky、Hawk和Niehols认为三角函数的对应关
系不能用包含算术程序步骤的代数公式表示，学生理解三角函数的对应关系有很
大困难，学生不能把这种对应关系看作函数关系。学生需要有关角的图表去到
对应的数值，还要熟练这些三角符号，许多高中、大学生不习惯于这种思维。
(W亡ber， 2005)
尽管学习三角函数有这么多的困难，但是与之有关的教育研究文献很少。
Blackett和Tan曾经作过以下研究:他们对两组学生进行测试，一组学生参与到
试验性的学习过程中，有计算器，允许学生探究数字、几何的关系，以一种可以
交流的方式进行。另一组学生在学校里，老师以一般传统的形式教学。通过同等
水平的后测后发现试验组学生胜过控制组学生。Kendal和stacey作了更大范围
的研究，他们通过后测发现学生在直角三角形背景下学习三角函数要比在单位圆
的背景下学习的效果好。(Weber， 2005)
NCTM数学教育专家一致认为数学课程的目标不仅仅是让学生在数学练习
和考试中记住步骤、获取正确的解题方法，更重要的是学生要理解所学。特别是
学生要能够解释为什么用这个步骤方法是准确合适的，并且能够证明一些数学概
念所具有的性质。(Weber， 2005)
W己ber(2005)研究了学生在两种不同教学方式下学生对三角函数的理解。
一所学院的教师采用传统的讲授方式，而另一所学院的教师则采用Tan和Gray
释，但是在实际教学过程中，老师很少提到其历史发展过程，多数老师就是按照
教材内容进行教学。那么学生对三角函数的理解是否与历史上数学家对三角函数
的理解有共同点呢?
本文试图调查高中生对三角函数概念的理解，并探讨单位圆对学生理解三角
函数的影响。通过对三角函数概念的历史发展回顾，与当今学生对三角函数的理
解进行比较，确定历史相似性的存在与否。具体研究问题如下:
1.学生是怎样理解三角函数的，学生能否运用三角函数概念来解释三角函
数的性质?
2.用单位圆定义三角函数，是否更有助于学生对三角函数的理解?
3.学生对三角函数的理解是否具有历史相似性?
4.学生在解决三角函数问题时会出现哪些类型的错误?
。他通过三级建构来讲解三角函数的概念，首先是复习旧定义(激活原认知)，
接着重新理解旧定义(建立一级建构);然后扩展定义域，引入坐标法(建立二
级建构);最后建立新定义(建立三级建构)。
何子尧(2009)指出三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函
数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三
角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在
直角三角形中进行的。他叙述了任意角的概念、任意角的三角函数概念以及同角
三角函数的基本关系式、正弦和余弦的诱导公式。
郑苇航(2009)认为三角函数教学过程中应以三角函数的概念为贯穿始终的
一条线。他把三角函数的概念分四部分演义:三角函数的函数要素和符号法则;
同角三角函数的关系式;三角函数的函数性;定义应用举例。
相关文献中，研究者都把重点放在了如何教上，而学生是如何想的、如何理
解的、如何做的，这类文献相对较少。
2.2单位阅及三角击获残
单位圆及三角函数线是三角函数的重要组成部分，是解决三角函数问题的有
力工具。
吴卫阳(2003)总结了“三角函数线”在教学中的应用，他认为三角函数线
是三角函数的一种几何表示，它既可以直观地表示三角函数值的符号及大小，又
可从任意角旋转过程中表示各三角函数值的变化规律。因此，在教学中若充分运
用数形结合的思想、辩证的思想进行细致地研究，便可以挖掘出隐含的三角函数
关系式，如:sino士cos夕与O及士1之间的关系，从而优化解题途径。观察单位
圆中的正弦线和余弦线，发现sina与cosa的大小与直线夕二士x有关，即可以用
直线y=x作为sina一cos。的正负分界线，用直线y二一x作为sin。+cos。的正负
分界线。
陈波(2008)认为在人教版数学教材必修4中，单位圆中的三角函数线被用
来作正、余弦和正切曲线，但它在解题中的应用却被淡化了。然而，三角函数线
是数形结合思想在三角函数中的体现，可以代替三角函数的定义、单调性和有界
的“过程一目标”教学模式。通过对学生的访谈和测试，发现学生在“过程一目
标”教学模式下对三角函数的理解更深刻。
国内教师在教学中对任意角的三角函数的很多问题也很关注，如何设计概念
的教学、典型题目的分析及解题分类与方法等。
司友毓、翟志伟(2008)把任意角的三角函数在解题中的作用作了五大分类:
(1)利用三角函数的“终边定义法”角题;(2)利用三角函数值在各象限的符
号解题;(3)利用诱导公式解题;(4)利用正弦线、余弦线、正切线解题。三角
函数线的主要作用是解三角不等式、求函数的定义域及比较大小，同时在学习三
角函数的图象和性质时，三角函数线都起到了重要的基础作用;(5)求函数的定
义域问题。
初中常用三角函数公式高启存、万玉岱(2007)，林再生(2008)都对任意角的三角函数的重点、
难点作了详细分析，指出在本单元的学习中学生应掌握并灵活运用类比、分类讨
论、数形结合、转化与化归等数学思想方法，并对典型例题进行归纳和分析。
胡慧敏(2009)对高一学生学习三角函数概念作了研究。她发现:学生主要
是借助表象来理解和表征概念的;在函数、角的推广以及任意角三角函数概念等
方面的认知上离老师的要求还存在一定的差距，尤其是理解任意角三角函数的函
数本质;角的推广和函数概念是学习正弦函数的必要条件。她还认为学生对三角
函数概念掌握受到函数知识和任意角概念影响较大。
石瑛(2009)对九年级学生关于锐角三角函数的认知进行了研究。她发现学
生对锐角三角函数定义的记忆并不意味着他们对锐角三角函数概念的理解，有
40%的学生不理解锐角三角函数的本质、锐角与边的比值的对应关系。有40%学
生对特殊角的锐角三角函数值混淆不清，尤其是30。和60。的三角函数值。她认为
学生在锐角三角函数认知中产生的困难原因主要有:对三角函数体现的变量之间
的对应关系不理解;对锐角三角函数的符号表示产生误解，把它们理解成代数符
号。
殷容仪(2006)认为三角函数的概念属于抽象概念，要合理地建构三角函数
的概念。他对高一学生作了调查，发现多数学生能利用初中学习的锐角三角函数
解直角三角形，但是并不理解锐角三角函数的定义。高三学生不理解高中为什么

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