高一数学三角函数同步辅导讲义
第1讲任意角的三角函数
一、学习指导
1．任意角的三角函数
    （1）任意角的三角函不能再用初中定义锐角三角函数的办法来定义，因此通过平面直角坐标系来定义任意角的三角函数.
（2）对于任意角的三角函数，由相似形的性质可知，的三角函数值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，即角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量的函数.
六个三角函数中重点要掌握的是正弦、余弦和正切.
（3）引进弧度制以后，角的集合与实数集合建立了一一对应关系，因此三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即
实数          角（其弧度数等于该实数）          三角函数值（实数）
（4）应注意，对于某些实数，、、、可能不存在.
2．单位圆与三角函数线
（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线以后，可以用有向线段的长表示这几个三角函数值，这在以后画三角函数的图象时会用到.正弦线、余弦线和正切线都是三角函数线.
（2）由三角函数线的作法可以知道，对任何角，正弦线、余弦线都可以作出，因此正弦函数、余弦函数的定义域是，对终边在轴上的角，正切线不存在，因此正切函数的定义域是.
3．三角函数在各个象限的符号
必须熟悉每个三角函数在各象限的符号：
          ，        ，      ，
    还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅，为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅，初中常用三角函数公式为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅，为正，其余为负.
4．终边相同角的三角函数值
公式一：，
        ，
        . 
也称为诱导公式一，利用公式一可以把任意角的三角函数化为到角的三角函数.
二、典型例题分析
例1  已知角的终边上有一点，求的各三角函数值.
解  由已知，，.
    ∵，∴.
    ∴，，，
      ，，.
例2  已知角的终边经过点，求的值.
分析  因的符号不确定，所以要对字母进行讨论.当，点在第四象限，当，点在第二象限.
解  若，，，点在第四象限.
    .
    ,.
    ∴.
    若，，，点在第二象限.
    .
    ，.
    ∴.
例3  若，利用三角函数线证明：，且.
证明  在单位圆中作出角及角的正弦线，余弦线和正切线.
在中，
∵，，
∴，∴，即.
在中，
∵，，
∴，，即.
例4  若，利用三角函数线证明：
（1）；
（2）.
证明  （1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦
线和余弦线.
由，为直角三角形，且，
，.
在中，
，∴.
      （2）如图，，分别为角的正弦线和正切线.连结.
由，显然有.
，
，
，
∴.  .
例5  已知，，判断的符号.
分析 首先应判断角所在象限，然后再确定角所在象限及的符号.
解  ∵，，
    ∴是第二象限角，.
    ∴.
    当，，
    是第一象限角，.
    当，，
    是第三象限角，.
    ∴必为正数.
例6  求函数的定义域.
解    由已知
由①，角的终边在轴上，或第一象限，或第四象限，或在轴的非负半轴上.
由②，，角的终边在第二象限，或第四象限，或在轴上.
∴角的终边在第四象限或轴的非负半轴上.
∴函数的定义域为.
例7  求值：
（1）；
（2）.
解  （1）
.
    （2）
.
巩固练习
一、选择题
1．已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（    ）
A．                B．
C．                  D．
2．若点在角的终边上，则下列函数中不存在的是（    ）
A．                        B．
C．                        D．
3．下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且
  是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相
  同；④若，则.其中真命题有（    ）
A．1个          B．2个          C．3个          D．4个
二、解答题
1．求值：
（1）；
（2）.
.
2．已知，且，判断点在第几象限.

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