HPM观点下“任意角三角函数的概念”的教学设计题三角函数是高中教材中的一种重要函数，与其他函数相比具有很多重要的特征：它以角为自变量，是周期函数，同时也是解决其他问题的重要工具，与后续学习的很多内容有联系。作为高中阶段最后学习的一个基本初等函数，是深化函数性质的极好素材，因此在教学上受到教师的足够重视。但是从实际教学效果上看学生掌握的内容并不理想。造成这种结果有以下几个原因：
（1）混淆初高中所学三角函数的定义，认为高中所学的内容就是在初中所
学内容基础
上的推广，任意角三角函数仍然是三角形边角关系的工具，没有体会其中所蕴含的函数思想。
（2）对于弧度制的引入和单位圆的定义在认知上存在障碍。
为了解决上述问题，我将从HPM的视角下重新对三角函数的内容进行整合，探索符合学生认知规律且顺应三角函数历史发展规律的教学设计。
一、HPM理论简介
1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（International Stud最全三角函数值对照表
y Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM），这也标志着一个数学教育研究的新领域的出现。HPM研究主要内容包括：数学教育研究取向的数学史研究、基于数学史的教学设计、关于相似性的实证研究和数学史融入数学教学的实践探索。数学史的引入对数学教学的确有一定的促进作用，但是如何引入、引入哪些内容，一直是困扰着老师们的问题。数学史在数学教学中的运用方式通常有3种，一是提供直接的历史信息，二是借鉴历史进行教学，三是开发对数学及其社会文化背景的深刻觉悟。其第二种方式就是发生教学法，通常所说的HPM（数学史与数学教育关系）视角下的数学教学采用的主要就是这种方法。英国教育家斯宾塞将其解释为“个体知识的发生必须遵循人类知识的发生过程”，发生教学法是一种借鉴历史、呈现知识自然发生过程、介于严格历史方法和严格演绎方法之间的一种方法。我将基于HPM理论，以三角函数的概念教学为例，试图到将数学史和数学课堂完美融合的思路。
二、三角函数概念的重构
关于三角函数概念的历史在这里我便不多说，简单来说它的历史发展顺序大致可以分为（以正弦为例）：正弦是圆弧所对的弦的半弦长，正弦是比值，正弦是单位圆上点的纵坐标。概括的说就是经历了几何的三角学，代数的三角学，解析的三角学。学生在初中学习的锐角三角函数的内容，相当于代数的三角学，是用来解决三角形三边关系的主要工具。而后来当用解析的眼光看三角学的时候，三角函数就是用来刻画函数性质的工具而不再拘泥于解决三角形边角关系的问题，而任意角的三角函数的研究与圆
周运动密不可分，所以锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的，他们研究的现象不同，表现的性质也不同，我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广，又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”。
高中学习热任意角三角函数的内容应该是以函数的眼光来对待，认真体会
其作为函数的一些性质，尤其是周期性。因为三角函数是刻画现实事物周期性很好的一个模型。教材（人教A版）只是在第一节内容上安排了任意角与弧度制的内容，接下来就是用单位圆给出了任意角的三角函数，教师的普遍做法也是回顾初中锐角三角函数的定义，然后让学生考虑如何将锐角三角函数推广到任意角三角函数。这种讲法无疑就把学生陷入一个误区，即任意角三角函数就是锐角三角函数的推广，自然有很多同学认为任意角三角函数仍然是研究三角形三边关系的工具只是不再局限于锐角三角形，也有很多同学排斥单位圆的定义，觉得不如初中给的“比值法”好，不直观难用来计算。尽管这样的处理方式很直截了当，但对照发生教学法我发现这种做法存在以下不足：
（1）没有讲明高中学习的三角函数与初中学习的锐角三角函数研究的内容和方法都不同，容易造成学生的概念混淆。
（2）没有很好的利用单位圆，单位圆是函数周期性的一个很好的体现，在三角函数的后续学习中有很
大的作用，但学生在教师的实际教学中体会的很少。
基于发生教学法，考虑学生在了解三角函数发展历史之后，就不会陷入锐角三角函数同任意角三角函数概念混淆的误区，能更好的认识单位圆在研究三角函数中的重要作用，体会其作为一个周期函数的性质等等，因此对三角函数的概念的历史进行重构便于教学。
三、任意角三角函数概念的教学设计
基于三角数概念（以正弦为例）的发展历史，将其进行重构并应用于实际教学。如图1：
1. 学情分析：
学生在前面一节已经学习了弧度制，从弧度制一课来讲数学史的引入就很有必要。在前一节的很好的铺垫下，学生已经体会到引入弧度制的必要性，这也为本节学习单位圆打下了良好的基础。学生在初中已经学过锐角三角函数的定义，对三角函数（正弦、余弦、正切）有一定的了解，而且学生通过弧度制的历史回顾，已经了解了锐角三角函数在解三角形中的作用。因此我建议对于锐角三角函数的概念的回顾可以放在弧度制一课对弧度制的历史回顾之中完成，因为在弧度制最早也是为了解决三角形边角关系的情况下产生的。是区别于角度制的另外一种度量方式。而在本节课任意角的三角函数中，先不要提及锐角三角函数的定义方式，以免学生发生概念的混淆。等到学生熟练掌握了任意角三角函数的概念以
后，再把初高中学习的内容进行对比，这样即可以帮助学生建构知识体系，也能让学生更好的体会任意角三角函数作为函数的性质。
2. 教学情景设计
高中生具有丰富的生活经验和联想，因此从现实生活入手更能激发学生的学习兴趣。如观察如图：钟表指针的旋转、自行车轮子的旋转、摩天轮等。
这些周期现象中都存在着超过180°的角，而且形成的图形都与圆有关，那么我们如何研究这种周期现象呢？任意角的三角函数是我们的好帮手，回顾历史我们可知，正弦和余弦是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，是圆对称性的直接反映。因此三角函数也叫圆函数，我们今天学习的内容与初中学习的锐角三角函数存在很大的差别。就此借助单位圆引入任意角三角函数的概念。
任意角三角函数概念的教学片段：
问题一：如何借助圆来研究三角函数？
回顾历史上数学家的做法，三角学最早起源于天文学，而三角函数是用于研究圆内接图形（主要是三角形）的工具，随着后来的发展是用于研究确定行星位置的工具。那么如何借助于圆来研究三角函数的内容呢？通过观察几组图片，钟表两个指针的运动轨迹、自行车轮子旋转等图片，激发学生的兴趣。显然我们只需在角的终边上到一个点，使这个点到角的顶点的距离为1(方便定义三角函数)，随着角度的任意扩大，以这个点旋转一周的轨迹——圆，来帮助我们学习三角函数。虽然在此处没有提到，这是数学家欧拉的做法，将单位圆的半径定位1，大大方便了我们研究三角函数的过程。我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆。
问题二：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P ，那么
（1）y 叫做α的正弦（sine ），记作αsin ，即αsin =y ；
（2）x 叫做α的余弦（cosine ），记作αcos ，即αcos =x ；
（3）x y 叫做α的正切（tangent ），记作αtan ，即αtan =x
y （0≠x ）。
问题三：任一点P的选择，对于任意角三角函数的值有没有影响？
回顾最初引入单位圆的过程，学生借助于相似三角形的知识可以得到点P
的选择对于任意角三角函数的值没有影响。
问题四：任意角的三角函数符号的确定与点p(x,y)的坐标有什么关系？
引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r>0，三角函数值的符号决定于横坐标、纵坐标的正负。
问题五：如何借助单位圆研究三角函数的周期性？
我们观察图形发现，角度每变化360°的整数倍的时候，角的终边又回到了同一位置，因此终边相同的同名三角函数值应该相等。这样一来可以把求任意角的三角函数值，转化为求0—2π角的三角函数，简化我们的计算。
3.反思与小结
首先把数学历史引入教学中，能增强学生们的学习兴趣。同时学生也能区分初高中关三角函数定义的区别，并能理解单位圆的作用，比如周期性、对称性等。三角函数历史悠久，有几何的、代数的、解析的视角，现在向量也进入教材，三角函数和向量、复数之间的关系也应引起教师的重视。
人的认识过程与人类认识的过程是基本一致的，所以我们需要研究数学史。了解数学发生和发展的过程，数学发展的历程也应该在个人身上重视，使我们懂得应该怎样安排学习顺序，应该选择哪些有生命力的内容。

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