2022年北京市石景山区高考数学一模试卷
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（  ）
A．{2，3，4}    B．{3，4}    C．{2，3}    D．{2}
2．已知i为虚数单位，若（2+i）z＝i，则复数z在复平面内对应的点位于（  ）
A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限
3．设函数，则f（x）是（  ）
A．奇函数，且在（0，+∞）单调递增   
B．奇函数，且在（0，+∞）单调递减   
C．偶函数，且在（0，+∞）单调递增   
D．偶函数，且在（0，+∞）单调递减
4．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为（  ）
A．    B．    C．    D．
5．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2＝3，S4＝18，则S6＝（  ）
A．36    B．45    C．63    D．75
6．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围是[17.5，30]，并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（  ）
A．56    B．60    C．120    D．140
7．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（  ）
A．c画直方图的四个步骤b＜ca    B．logca＞logcb   
C．ac＜bc    D．logac＞logbc
8．在△ABC中，若2bcosB＝acosC+ccosA，则B＝（  ）
A．    B．    C．    D．
9．设{an}是首项为﹣1的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＞0”的（  ）
A．充分不必要条件    B．必要不充分条件   
C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件
10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，给出下列三个结论：
①AC⊥BE；
②△AEF的面积与△BEF的面积相等；
③三棱锥A﹣BEF的体积为定值．
其中，所有正确结论的个数是（  ）
A．0    B．1    C．2    D．3
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知向量（2，5），（λ，4），若∥，则λ＝    　．
12．（5分）双曲线的焦点坐标为     　，渐近线方程为     　．
13．（5分）设函数f（x），则使f（x）≤2成立的x的取值范围是    　．
14．（5分）若点P（cosθ，sinθ）关于x轴的对称点为，则θ的一个取值为     　．
15．（5分）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r的小圆在一个半径为4r的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知r＝1，起始位置时大圆与小圆的交点为A（A点为x轴正半轴上的点），滚动过程中A点形成的轨迹记为星形线C．有如下结论：
①曲线C上任意两点间距离的最大值为8；
②曲线D：|x|+|y|＝4的周长大于曲线C的周长；
③曲线C与圆 x2+y2＝4有且仅有4个公共点．
其中正确的序号为     　．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）已知函数，h（x）＝cosx，从条件①f（x）＝g（x）•h（x）、条件②f（x）＝g（x）+h（x）这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）在区间上的最小值．
17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ADC，侧面PAD为直角三角形，∠PAD，CD⊥平面PAD．
（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）若AB＝3，PD＝4，CD＝AD＝2，判断在线段PD上是否存在一点M，使得直线AM与平面PBC所成角的大小为．
18．（13分）某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛
结束．A类问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明同学能正确回答A类中的每一个问题的概率均为0.8，能正确回答B类中的每一个问题的概率均为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（Ⅰ）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（Ⅱ）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
19．（15分）已知椭圆，O为坐标原点，右焦点坐标为，椭圆C的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C在y轴上的两个顶点为A，B，点P满足，直线PF交椭圆于M，N两点，且，求此时∠OPF的大小．
20．（15分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求f（x）的单调区间；

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