实验三  连续时间LTI系统的频域分析
一、实验目的
1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；
2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；
3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及延时的物理意义；
4、掌握用MATLAB语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB描述方法，深刻理解LTI系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB计算和绘制LTI系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法
1 连续时间LTI系统的频率响应
所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
连续时间LTI系统的时域及频域分析图
    上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：
                    3.1
或者：                                          3.2
为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即 
                                3.3
由于H(jω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel）的话，那么H(jω)一定存在，而且H(jω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：
                                            3.4
上式中，称为幅度频率相应（Magnitude response），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，称为相位特性（Phase response），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。和都是频率ω的函数。
对于一个系统，其频率响应为H(jω)，其幅度响应和相位响应分别为和，如果作用于系统的信号为，则其响应信号为
          3.5
若输入信号为正弦信号，即x(t) = sin(ω0t)，则系统响应为
                          3.6
可见，系统对某一频率分量的影响表现为两个方面，一是信号的幅度要被加权，二是信号的相位要被移相。
由于和都是频率ω的函数，所以，系统对不同频率的频率分量造成的幅度和相位上的影响是不同的。
2  LTI系统的延时
从信号频谱的观点看，信号是由无穷多个不同频率的正弦信号的加权和（Weighted sum）所组成。正如刚才所述，信号经过LTI系统传输与处理时，系统将会对信号中的所有频率分量
造成幅度和相位上的不同影响。从相位上来看，系统对各个频率分量造成一定的相位移（Phase shifting），相位移实际上就是延时（Time delay）。延时（Group delay）的概念能够较好地反映系统对不同频率分量造成的延时。
LTI系统的延时定义为：
                                          3.7
延时的物理意义：延时描述的是信号中某一频率分量经过线性时不变系统传输处理后产生的响应信号在时间上造成的延时的时间。
如果系统的相位频率响应特性是线性的，则延时为常数，也就是说，该系统对于所有的频率分量造成的延时时间都是一样的，因而，系统不会对信号产生相位失真（Phase distortion）。反之，若系统的相位频率响应特性不是线性的，则该系统对于不同频率的频率分量造成的延时时间是不同的，因此，当信号经过系统后，必将产生相位失真。
3 用MATLAB计算系统频率响应
在本实验中，表示系统的方法仍然是用系统函数分子和分母多项式系数行向量来表示。实验中用到的MATLAB函数如下：
[H,w] = freqs(b,a)：b,a分别为连续时间LTI系统的微分方程右边的和左边的系数向量（Coefficients vector），返回的频率响应在各频率点的样点值（复数）存放在H中，系统默认的样点数目为200点；
Hm = abs(H)：求模数，即进行运算，求得系统的幅度频率响应，返回值存于Hm之中。
real(H)：求H的实部；
imag(H)：求H的虚部；
phi = atan(-imag(H)./(real(H)+eps))：求相位频率相应特性，atan()用来计算反正切值；或者
phi = angle(H)：求相位频率相应特性；
tao = grpdelay(num,den,w)：计算系统的相位频率响应所对应的延时。
计算频率响应的函数freqs()的另一种形式是：
H = freqs(b,a,w)：在指定的频率围计算系统的频率响应特性。在使用这种形式的freqs/freqz函数时，要在前面先指定频率变量w的围。
例如在语句H = freqs(b,a,w)之前加上语句：w = 0:2*pi/256:2*pi。
下面举例说明如何利用上述函数计算并绘制系统频率响应特性曲线的编程方法。
假设给定一个连续时间LTI系统，下面的微分方程描述其输入输出之间的关系
                         
编写的MATLAB例程序，绘制系统的幅度响应特性、相位响应特性、频率响应的实部和频率响应的虚部。程序如下：
% Program3_1
% This Program is used to compute and draw the plots of the frequency response
frequency函数计算频数% of a continuous-time system
b = [1];      % The coefficient vector of the right side of the differential equation
a = [1 3 2];    % The coefficient vector of the left side of the differential equation
[H,w] = freqs(b,a);        % Compute the frequency response H
Hm = abs(H);            % Compute the magnitude response Hm
phai = angle(H);          % Compute the phase response phai
Hr = real(H);              % Compute the real part of the frequency response
Hi = imag(H);            % Compute the imaginary part of the frequency response
subplot(221)
plot(w,Hm), grid on,  title('Magnitude response'),  xlabel('Frequency in rad/sec')

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