1、用三种不同的DFT程序计算x(n)=R8(n)的傅里叶变换X(ejw)，并比较三种程序计算机运行时间。
(1) 用for loop 语句的M函数文件dft1.m，用循环变量逐点计算X(k)；
(2) 编写用MATLAB矩阵运算的M函数文件dft2.m，完成上述运算；
(3) 编写函数dft3.m，调用FFT库函数，直接计算X(k)；
(4) 分别利用上述三种不同方式编写的DFT程序计算序列x(n)的傅立叶变换X(ejw)，并画出相应的幅频和相频特性，再比较各个程序的计算机运行时间。
M函数文件如下：
dft1.m：
function[Am,pha]=dft1(x)
N=length(x);
w=exp(-j*2*pi/N);
for k=1:N
  sum=0;
  for n=1:N
      sum=sum+x(n)*w^((k-1)*(n-1));
  end
  Am(k)=abs(sum);
  pha(k)=angle(sum);
end
dft2.m：
function[Am,pha]=dft2(x)
N=length(x);
n=[0:N-1];
k=[0:N-1];
w=exp(-j*2*pi/N);
nk=n'*k;
wnk=w.^(nk);
Xk=x*wnk;
Am=abs(Xk);
pha=angle(Xk);
dft3.m：
function[Am,pha]=dft3(x)
Xk=fft(x);
Am=abs(Xk);
pha=angle(Xk);
源程序及运行结果：
(1) x=[ones(1,8),zeros(1,248)];
t=cputime;
[Am1,pha1]=dft1(x);
t1=cputime-t
n=[0:(length(x)-1)];
w=(2*pi/length(x))*n;
figure(1)
subplot(2,1,1), plot(w,Am1,'b'); grid;
title('Magnitude part');
xlabel('frequency in radians');
ylabel('|X(exp(jw))|');
subplot(2,1,2), plot(w,pha1,'r'); grid;
title('Phase Part');
xlabel('frequency in radians');
ylabel('argX[exp(jw)]/radians');
(2) x=[ones(1,8),zeros(1,248)];
t=cputime;
[Am2,pha2]=dft2(x);
t2=cputime-t
n=[0:(length(x)-1)];
w=(2*pi/length(x))*n;
figure(2)
subplot(2,1,1), plot(w,Am2,'b'); grid;
title('Magnitude part');
xlabel('frequency in radians');
ylabel('|X(exp(jw))|');
subplot(2,1,2), plot(w,pha2,'r'); grid;
title('Phase Part');
xlabel('frequency in radians');
ylabel('argX[exp(jw)]/radians');
(3) x=[ones(1,8),zeros(1,248)];
t=cputime;
[Am3,pha3]=dft3(x);
t3=cputime-t;frequency函数计算频数
n=[0:(length(x)-1)];
w=(2*pi/length(x))*n;
figure(3)
subplot(2,1,1), plot(w,Am3,'b'); grid;
title('Magnitude part');
xlabel('frequency in radians');
ylabel('|X(exp(jw))|');
subplot(2,1,2), plot(w,pha3,'r'); grid;
title('Phase Part');
xlabel('frequency in radians');
ylabel('argX[exp(jw)]/radians')
从以上运行结果可以看出，调用FFT库函数直接计算X(k)速度最快，矩阵运算次之，用循环变量逐点计算运行速度最慢。因此FFT算法大大提高了DFT的实用性。
2、利用DFT实现两序列的卷积运算，并研究DFT点数与混叠的关系。
给定x(n)=nR16(n)，h(n)=R8(n)，用FFT和IFFT分别求线性卷积和混叠结果输出，并用函数stem(n,y)画出相应图形。
源程序如下：
N=16;
x=[0:N-1];
h=ones(1,8);
线性卷积：
Xk1=fft(x,23);    %做23点fft
Hk1=fft(h,23);
Yk1=Xk1.*Hk1;
y1=ifft(Yk1);
n=0:22;
figure(1)
stem(n,y1)
混叠：
Xk2=fft(x);
Hk2=fft(h,16);      %做16点fft
Yk2=Xk2.*Hk2;
y2=ifft(Yk2);
n=0:15;
figure(2)
stem(n,y2)
将两个信号的DFT相乘，再做反变换，相当于时域做循环卷积。而循环卷积是线性卷积以N为周期周期性延拓的结果，其中N为离散傅立叶变换的点数。若x1(n)是N1点序列，x2(n)是N2点序列，则其线性卷积为N1+N2-1点，做N=max(N1,N2)点的傅立叶变换，则结果中将有N2-1点是混叠的。
题目中N1=16，N2=8，由程序运行结果可以看出，第二张图的前7（N2-1）个点为混叠结果，后9个点是线性卷积的结果。
所以，要用DFT来做线性卷积，DFT的点数必须大于或等于线性卷积的结果。本题中取N1+N2-1=23为DFT的点数，即可得到正确的线性卷积结果。
3、研究高密度频谱与高分辨率频谱。
设有连续信号
Xa(t)=cos(2π×6.5×10^3t)+cos(2π×7×10^3t)+cos(2π×9×10^3t)
以采样频率fs=32kHz对信号Xa(t)采样，分析下列三种情况的幅频特性。
(1) 采集数据长度N=16点，做N=16点的DFT，并画出幅频特性。
(2) 采集数据长度N=16点，补零到256点，做N=256点的DFT，并画出幅频特性。
(3) 采集数据长度N=256点，做N=256点的DFT，并画出幅频特性。
观察三幅不同频率特性图，分析和比较它们的特点以及形成的原因。
源程序如下：
fs=32000;                        %采样频率
N=16;                          %采集16点
n=0:N-1;                        %做16点DFT
xa=cos(2*pi*6.5*10^3*n/fs)+cos(2*pi*7*10^3*n/fs)+cos(2*pi*9*10^3*n/fs);
[Am1,pha1]=dft3(xa);
n=[0:(length(xa)-1)];
w=(2*pi/length(xa))*n;
figure(1)
plot(w,Am1,'b'); grid;
title('Magnitude part');
xlabel('frequency in radians');
ylabel('|X(exp(jw))|');
x=[xa(1:16),zeros(1,240)];                  %补零到256
[Am2,pha2]=dft2(x);                      %做256点DFT
n=[0:(length(x)-1)];
w=(2*pi/length(x))*n;
figure(2)
plot(w,Am2,'b'); grid;
title('Magnitude part');
xlabel('frequency in radians');
ylabel('|X(exp(jw))|');

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